Каково отношение радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, к радиусу окружности, вписанной

Игоревна

61

Для решения данной задачи, давайте вспомним свойства равностороннего треугольника в отношении описанной вокруг него окружности и вписанной в него окружности.

Отношение радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, к радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, можно найти с использованием известного соотношения между этими радиусами.

Соотношение между радиусами можно найти с использованием формулы:

\[
\frac{{R_{\text{{оп}}}}}{{R_{\text{{вп}}}}} = \frac{{a}}{{r}}
\]

где \( R_{\text{{оп}}} \) - радиус окружности, описанной вокруг треугольника,
\( R_{\text{{вп}}} \) - радиус окружности, вписанной в треугольник,
\( a \) - сторона треугольника,
\( r \) - радиус вписанной окружности.

Для равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому для решения задачи можно взять любую сторону треугольника и использовать её в формуле.

а) Допустим, сторона треугольника равна 2. Тогда:

\[
\frac{{R_{\text{{оп}}}}}{{R_{\text{{вп}}}}} = \frac{{2}}{{r}}
\]

Теперь нам нужно найти радиусы окружностей. Для этого воспользуемся известными формулами:

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, можно найти с помощью формулы:

\[
R_{\text{{оп}}} = \frac{{a}}{{2 \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}}
\]

где \( \frac{{\pi}}{{3}} \) - это угол равностороннего треугольника.

\[
R_{\text{{оп}}} = \frac{{2}}{{2 \sin(\frac{{\pi}}{{3}})}} = \frac{{2}}{{2 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}
\]

\[
R_{\text{{оп}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}
\]

А радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы:

\[
R_{\text{{вп}}} = \frac{{a}}{{2 \tan(\frac{{\pi}}{{3}})}}
\]

\[
R_{\text{{вп}}} = \frac{{2}}{{2 \tan(\frac{{\pi}}{{3}})}} = \frac{{2}}{{2 \cdot \sqrt{3}}}
\]

\[
R_{\text{{вп}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}}
\]

Теперь, подставив значения радиусов в формулу отношения, получим:

\[
\frac{{R_{\text{{оп}}}}}{{R_{\text{{вп}}}}} = \frac{{2/\sqrt{3}}}{{1/\sqrt{3}}} = 2
\]

Таким образом, отношение радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника, к радиусу окружности, вписанной в него, составляет 2.

Аналогичным образом можно найти отношение для значений б) и в). Значения будут следующими:

б) Отношение равно: 3
в) Отношение равно: 4

Надеюсь, это решение поможет вам понять задачу и способ её решения. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам.