Каково отношение радиусов двух окружностей, которые касаются друг друга и вписаны в угол, равный 60 градусам?

Валентинович_5765

6

Для решения этой задачи рассмотрим следующую схему:

\[
\begin{array}{c}
O_1\\
\downarrow\\
O_2\\
\end{array}
\]

На данной схеме имеются две окружности, обозначенные как \(O_1\) и \(O_2\). Задача заключается в нахождении отношения их радиусов.

Условие говорит, что окружности касаются друг друга и вписаны в угол, равный 60 градусам. Из этого следует, что точка касания \(P\) окружностей лежит на биссектрисе угла между двумя радиусами.

Поскольку окружности касаются друг друга, то радиусы соответствующих окружностей проходят через точку касания \(P\), и эти радиусы являются радиусами касательных.

Давайте обозначим радиусы окружностей как \(r_1\) и \(r_2\), где \(r_1\) - радиус окружности \(O_1\), а \(r_2\) - радиус окружности \(O_2\). Также обозначим точку касания как \(P\).

Поскольку угол между радиусами равен 60 градусам, и точка \(P\) является серединой этого угла, то можно утверждать, что треугольник \(P O_1 O_2\) является равносторонним, так как все его стороны равны.

Таким образом, соотношение между радиусами окружностей можно выразить следующим образом:

\[
\frac{{r_1}}{{r_2}} = \frac{{O_1 P}}{{O_2 P}} = \frac{{O_1 O_2}}{{O_1 P}} = \frac{{O_1 O_2}}{{r_2}}
\]

Поскольку треугольник \(P O_1 O_2\) равносторонний, то отрезок \(O_1 O_2\) равен \(2r_2\). Тогда можно записать:

\[
\frac{{r_1}}{{r_2}} = \frac{{2r_2}}{{r_2}}
\]

Сократив радиусы окружностей, мы получаем ответ:

\[
\frac{{r_1}}{{r_2}} = \frac{{2}}{{1}} = 2
\]

Таким образом, отношение радиусов двух окружностей, вписанных в угол в 60 градусов и касающихся друг друга, равно 2.