1) Какова длина одной из сторон параллелограмма, если другая сторона также равна 4, а косинус одного из углов равен

Плюшка

20

Задача 1:
Дано, что одна из сторон параллелограмма равна 4 и косинус одного из углов равен \(\sqrt{15}/4\).
Для начала, нам необходимо найти значение синуса этого угла по формуле \(\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)}\).
Вычислим значение синуса:
\(\sin(\theta) = \sqrt{1 - (\sqrt{15}/4)^2} = \sqrt{1 - 15/16} = \sqrt{1/16} = 1/4\).
Так как параллелограмм имеет пары равных сторон, мы можем рассмотреть другую сторону параллелограмма, которая также равна 4.
Чтобы найти длину второй стороны параллелограмма, мы можем использовать формулу:
\(a = \frac{2A}{b}\), где \(a\) - длина второй стороны, \(A\) - площадь параллелограмма, \(b\) - длина одной из сторон.

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу:
\(A = b \cdot a \cdot \sin(\theta)\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон параллелограмма, \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Подставляя в формулу значения, получаем:
\(4 = \frac{2 \cdot A}{4} \Rightarrow A = 8\).

Теперь мы можем найти длину второй стороны:
\(a = \frac{8}{4} = 2\).
Таким образом, длина одной из сторон параллелограмма равна 2.

Ответ: Длина одной из сторон параллелограмма равна 2.

Задача 2:
Дано, что одна из сторон параллелограмма равна 8, а другая сторона равна 18, и тангенс одного из углов равен \(\sqrt{7}/21\).
Мы можем использовать формулу тангенса:
\(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\).

Для начала, найдем значение синуса угла. Используем формулу:
\(\sin(\theta) = \sqrt{\frac{\tan^2(\theta)}{1 + \tan^2(\theta)}}\).

Подставляем значение тангенса и вычисляем:
\(\sin(\theta) = \sqrt{\frac{(\sqrt{7}/21)^2}{1 + (\sqrt{7}/21)^2}} = \sqrt{\frac{7/441}{1 + 7/441}} = \sqrt{\frac{7}{448}} = \frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{8}\).

Теперь найдем значение косинуса угла:
\(\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{14}}{8})^2} = \sqrt{1 - \frac{14}{64}} = \sqrt{\frac{50}{64}} = \sqrt{\frac{25}{32}} = \frac{5}{4\sqrt{2}}\).

Мы знаем, что параллелограмм имеет пары равных сторон, поэтому можем рассмотреть другую сторону, которая также равна 8.
Используем формулу:
\(a = \frac{2A}{b}\), где \(a\) - длина второй стороны, \(A\) - площадь параллелограмма, \(b\) - длина одной из сторон.

Площадь параллелограмма можно найти с помощью формулы:
\(A = b \cdot a \cdot \sin(\theta)\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон параллелограмма, \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Подставляем значения:
\(8 = \frac{2 \cdot A}{8} \Rightarrow A = 32\).

Теперь находим длину второй стороны:
\(a = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}\).

Ответ: Тангенс одного из углов параллелограмма, равный \(\sqrt{7}/21\), равен \(\frac{\sqrt{14}}{8}\). Длина одной из сторон параллелограмма равна \(\frac{16}{9}\).