Что будут координаты точек А и В, если АВСО - квадрат и АС равно 2√2?

Алексеевич

51

Чтобы найти координаты точек A и B в квадрате ABCD, мы можем воспользоваться информацией о длине стороны AC и знанием о свойствах квадрата.

Пусть точка A имеет координаты (x, y), а точка C имеет координаты (0, 0). Так как сторона AC имеет длину 2√2, то мы можем записать следующее уравнение:

\[\sqrt{x^2 + y^2} = 2√2\]

Мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня. Получим:

\[x^2 + y^2 = (2√2)^2 = 8\]

Так как квадрат ABCD симметричен относительно осей координат, то с учетом условий задачи, мы можем сделать вывод, что точка B имеет координаты (-y, x).

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 8\\ B(-y, x)\end{cases}\]

Решим систему уравнений.

Из второго уравнения мы можем выразить x и y:

\[x = -B_y\]
\[y = B_x\]

Подставим эти значения в первое уравнение:

\[(-B_y)^2 + (B_x)^2 = 8\]

\[B_y^2 + B_x^2 = 8 \ \backslash \text{делим оба выражения на } B_x^2\]
\[1 + \left(\frac{B_y}{B_x}\right)^2 = \frac{8}{B_x^2}\]

Теперь мы получили уравнение, связывающее координаты точки B.

Чтобы найти конкретные значения координат, нам нужна дополнительная информация. Установим значение одной из координат точки B и решим уравнение для другой координаты.

Давайте предположим, что \(B_x = 1\). Тогда уравнение станет:

\[1 + B_y^2 = \frac{8}{1^2} = 8\]
\[B_y^2 = 7\]
\[B_y = \pm \sqrt{7}\]

Теперь мы получили два возможных значения для B_y: \(\sqrt{7}\) и \(-\sqrt{7}\).

Таким образом, координаты точки B могут быть \((1, \sqrt{7})\) и \((1, -\sqrt{7})\).

Также, используя симметрию квадрата, мы можем сказать, что координаты точки A будут \((- \sqrt{7}, 1)\) и \((\sqrt{7}, 1)\).

Итак, координаты точек A и B в квадрате ABCD будут следующими:
A: \((- \sqrt{7}, 1)\), \((\sqrt{7}, 1)\)
B: \((1, \sqrt{7})\), \((1, -\sqrt{7})\)

Надеюсь, что это пошаговое объяснение помогло вам понять, как получить эти результаты.