Каково отношение ускорений шариков a1 и a2 при их столкновении на гладкой поверхности, если радиус первого шарика

Космическая_Следопытка

36

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Предположим, что шарики сталкиваются друг с другом на гладкой поверхности без трения.

Пусть \( m_1 \) - масса первого шарика и \( m_2 \) - масса второго шарика. Также пусть \( v_1 \) и \( v_2 \) - начальные скорости шариков перед столкновением, а \( v_1" \) и \( v_2" \) - их скорости после столкновения. Законы сохранения импульса и энергии дают нам следующие уравнения:

Сохранение импульса:
\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2" \]

Сохранение энергии:
\[ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1"^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2"^2 \]

Так как шарики сталкиваются на гладкой поверхности без трения, сохраняется их общая скорость после столкновения. То есть, \( v_1" = v_2" \), обозначим её как \( v" \).

Теперь давайте приведём радиусы шариков в уравнениях, используя данную информацию о их соотношении. Если радиус первого шарика в 4 раза меньше радиуса второго шарика, то \( r_1 = \frac{1}{4} \cdot r_2 \). Используя формулу для объёма шара \( V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \), можем выразить массы шариков через их радиусы:

\( m_1 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \), \( m_2 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \)

Теперь у нас есть все данные, чтобы решить уравнения. Подставим выражения для \( m_1 \), \( m_2 \) и \( v" \) в уравнения сохранения импульса и энергии:

Сохранение импульса:
\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v" + m_2 \cdot v" \]
\[ \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \cdot v_1 + \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \cdot v_2 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \cdot v" + \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \cdot v" \]

Сохранение энергии:
\[ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v"^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v"^2 \]
\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_1^3 \cdot v"^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_2^3 \cdot v"^2 \]

Мы можем заметить, что \( \frac{4}{3} \cdot \pi \) уравнивается на обеих сторонах уравнений и может быть сокращено. Получаем:

Сохранение импульса:
\[ r_1^3 \cdot v_1 + r_2^3 \cdot v_2 = r_1^3 \cdot v" + r_2^3 \cdot v" \]

Сохранение энергии:
\[ \frac{1}{2} \cdot r_1^3 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot r_2^3 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot r_1^3 \cdot v"^2 + \frac{1}{2} \cdot r_2^3 \cdot v"^2 \]

Заметим, что имеющиеся у нас уравнения содержат только одну неизвестную переменную - \( v" \). Мы можем решить эти уравнения и найти значение \( v" \), а затем выразить отношение ускорений \( a_1 \) и \( a_2 \).

После решения получим: