Каково отношение, в котором прямая, проходящая через вершину трапеции и делящая ее площадь пополам, делит боковую

Букашка

55

Для начала, давайте рассмотрим некоторые известные факты о трапеции. Трапеция - это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. В данной задаче дано, что прямая проходит через вершину трапеции и делит ее площадь пополам.

Предположим, что эта прямая пересекает боковую сторону трапеции в точке $S$ и продлевается до пересечения с продолжением боковой стороны в точке $R$. Обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением основания трапеции как $Q$.

Теперь, чтобы посчитать отношение, в котором эта прямая делит боковую сторону трапеции, нам нужно узнать эти отношения длин. Давайте представим, что длина боковой стороны трапеции равна $a$, а длина основания - $b$.

1. Шаг: Найдем отношение длин отрезков $AS$ и $SR$.
Поскольку эта прямая делит площадь трапеции пополам, она также делит высоту трапеции пополам. Другими словами, прямая проходит через середину высоты трапеции. Так как мы знаем, что вершина трапеции, $A$, и точка пересечения прямой и боковой стороны, $S$, являются концами отрезка $AS$, мы можем заключить, что эта прямая делит отрезок $AS$ пополам на две равные длины.
Таким образом, длина отрезка $AS$ равна $\frac{1}{2}a$.

Отношение длин отрезков $AS$ и $SR$:
$\frac{AS}{SR}=\frac{\frac{1}{2}a}{SR}$

2. Шаг: Найдем отношение длин отрезков $SR$ и $RQ$.
Аналогично первому шагу, прямая также делит отрезок $SR$ пополам, потому что она проходит через середину высоты трапеции.
Таким образом, длина отрезка $SR$ также равна $\frac{1}{2}a$.

Отношение длин отрезков $SR$ и $RQ$:
$\frac{SR}{RQ}=\frac{\frac{1}{2}a}{RQ}$

3. Шаг: Найдем отношение длин отрезков $RQ$ и $QB$.
Для нахождения этого отношения, нам нужно использовать свойство параллельных сторон трапеции.
Заметим, что треугольник $AQB$ и треугольник $SQR$ подобны (у них есть одинаковые углы), поскольку они имеют две пары соответствующих углов.
Это означает, что соответствующие стороны этих треугольников также относятся как соответствующие стороны подобных треугольников.
Поскольку стороны треугольника $AQB$ соотносятся как $RQ$ и $QB$, мы можем записать:
$\frac{RQ}{QB}=\frac{AS}{SR}$.
Мы уже вычислили $\frac{AS}{SR}$ в первом шаге, поэтому мы можем ее использовать.

4. Шаг: Найдем отношение длин отрезков $QB$ и $RB$.
Поскольку $\mathrm{△}QRB$ и $\mathrm{△}QAS$ подобны, мы снова можем использовать соответствующие стороны треугольников для нахождения отношения $QB$ и $RB$.
$\frac{QB}{RB}=\frac{RQ}{AS}$

Теперь у нас есть отношение длин всех отрезков, и мы можем их объединить, чтобы получить искомое отношение, в котором прямая делит боковую сторону трапеции.

Умножим все полученные отношения:

$\frac{AS}{SR}\cdot \frac{SR}{RQ}\cdot \frac{RQ}{QB}\cdot \frac{QB}{RB}$
$\frac{\frac{1}{2}a}{SR}\cdot \frac{\frac{1}{2}a}{RQ}\cdot \frac{RQ}{QB}\cdot \frac{QB}{RB}$
$\frac{\frac{1}{2}a}{SR}\cdot \frac{\frac{1}{2}a}{QB}\cdot \frac{QB}{RB}$

Мы видим, что множители $\frac{\frac{1}{2}a}{SR}$ и $\frac{QB}{RB}$ повторяются в знаменателе и числителе соответственно. Поэтому можно сократить эти множители:

$\frac{QB}{SR}$

Таким образом, отношение, в котором прямая, проходящая через вершину трапеции и делящая ее площадь пополам, делит боковую сторону трапеции, равно $\frac{QB}{SR}$.