Каково отношение жёсткости второй пружины к жёсткости первой, если при замене пружины в опыте по изучению колебаний

Izumrudnyy_Drakon

61

Для получения отношения жёсткости второй пружины к жёсткости первой, мы можем воспользоваться формулой для периода колебаний пружинного маятника. Период колебаний, обозначенный как \(T\), зависит от массы \(m\) подвески, гравитационной постоянной \(g\) и жёсткости пружины \(k\):

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.\]

В данном задании мы заменяем первую пружину на вторую и в результате период колебаний уменьшился в 2 раза. Обозначим жёсткость первой пружины как \(k_1\), а жёсткость второй пружины как \(k_2\). Получим два уравнения для периодов колебаний с использованием формулы:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}},\]
\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}}.\]

Из условия задачи мы знаем, что период колебаний с новой пружиной составляет половину периода колебаний с исходной пружиной:

\[T_2 = \frac{T_1}{2}.\]

Подставим выражения для \(T_1\) и \(T_2\) и решим уравнение относительно \(k_2\):

\[2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}.\]

Упростим:

\[\sqrt{\frac{k_1}{k_2}} = \frac{1}{2}.\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\frac{k_1}{k_2} = \frac{1}{4}.\]

Чтобы получить отношение жёсткости второй пружины к жёсткости первой, переставим части уравнения:

\[\frac{k_2}{k_1} = 4.\]

Таким образом, отношение жёсткости второй пружины к жёсткости первой равно 4.