Каково приближенное значение первой космической скорости для планеты Меркурий, если известно, что её радиус составляет

Черепаха

53

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать законы, связанные с гравитацией и спутниковыми орбитами. Для начала, давайте установим некоторые обозначения:
\(v\) - первая космическая скорость планеты Меркурий (которую мы ищем)
\(R_E\) - радиус Земли
\(R_M\) - радиус Меркурия
\(g_E\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли
\(g_M\) - ускорение свободного падения на поверхности Меркурия

Закон сохранения механической энергии в сферической системе координат гласит, что
\(\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{R}\),
где \(m\) - масса спутника, \(G\) - гравитационная постоянная, \(r\) - расстояние от центра планеты до спутника.

Если спутник движется по круговой орбите на высоте \(h\) над поверхностью планеты, то \(r = R + h\).

Используя эти соотношения, мы можем получить выражение для первой космической скорости:
\(\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R + h} = -\frac{GMm}{R}\).

Теперь давайте подставим значения для планеты Меркурий и Земли:
Для Меркурия, \(R_M = \frac{3}{8}R_E\) и \(g_M = \frac{2}{5}g_E\).
Для Земли, \(R_E = 8 \times 10^3\) м.

Подставляя все числовые значения, получим:
\(\frac{1}{2}mv^2 - \frac{Gm}{\frac{3}{8}R_E + h} = -\frac{Gm}{R_E}\).

Заметим, что массы спутников \(m\) сокращаются в этом уравнении.

Теперь мы можем решить это уравнение для скорости \(v\).

1. Для начала, давайте выразим \(\frac{3}{8}R_E + h\) через \(R_E\):
\(\frac{3}{8}R_E + h = R_M\).

2. Подставляем полученное значение в уравнение:
\(\frac{1}{2}v^2 - \frac{G}{R_E}(\frac{3}{8}R_E + h) = -\frac{G}{R_E}R_E\).

3. Сократим \(\frac{G}{R_E}R_E\) с обеих сторон:
\(\frac{1}{2}v^2 - \frac{G}{R_E}(\frac{3}{8}R_E + h) = -G\).

4. Упростим это уравнение, учитывая, что \(\frac{G}{R_E}\) можно записать как \(g_E\):
\(\frac{1}{2}v^2 - \frac{g_ER_E}{8} - g_Eh = -G\).

Теперь мы можем найти значение скорости \(v\).

Давайте решим получившееся уравнение:
\(\frac{1}{2}v^2 - \frac{g_ER_E}{8} - g_Eh = -G\).

Выражаем скорость:
\(\frac{1}{2}v^2 = -G + \frac{g_ER_E}{8} + g_Eh\).

Получаем:
\(v^2 = -2(G - \frac{g_ER_E}{8} - g_Eh)\).

Итак, мы вывели формулу для квадрата первой космической скорости.

5. Теперь подставляем числовые значения:
\(v^2 = -2(6.67430 \times 10^{-11} - \frac{(9.81)(8 \times 10^3)}{8} - (9.81)(h))\).

6. Вычисляем полученное выражение:
\(v^2 \approx -2(6.67430 \times 10^{-11} - 9.81 \times 10^3 - 9.81h)\).

Дальше мы можем найти квадратный корень из полученного значения, чтобы найти приближенное значение первой космической скорости \(v\).

Итак, ответ на задачу состоит в следующем:
Приближенное значение первой космической скорости для планеты Меркурий составляет \(\sqrt{-2(6.67430 \times 10^{-11} - 9.81 \times 10^3 - 9.81h)}\) м/с.