Каково произведение первого и последнего членов геометрической прогрессии, если сумма десятичных логаритмов девяти

Lisenok_9243

49

Давайте разберемся с данной задачей пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
Мы должны найти произведение первого и последнего членов геометрической прогрессии, если сумма десятичных логарифмов девяти последовательных членов равна какому-то числу. Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \(a\) и отношение прогрессии как \(r\).

Шаг 2: Формулировка геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число \(r\). Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии выглядит следующим образом: \(a_n = a \cdot r^{(n-1)}\), где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - отношение прогрессии.

Шаг 3: Сумма десятичных логарифмов девяти последовательных членов
У нас есть информация о сумме десятичных логарифмов девяти последовательных членов геометрической прогрессии. Предположим, что эта сумма равна \(S\). Можно записать это в виде уравнения: \(\log_{10}(a) + \log_{10}(ar) + \log_{10}(ar^2) + \ldots + \log_{10}(ar^8) = S\).

Шаг 4: Применение свойств логарифмов
Используя свойство логарифмов \(\log_{10}(a) + \log_{10}(b) = \log_{10}(a \cdot b)\), мы можем преобразовать уравнение из предыдущего шага: \(\log_{10}(a \cdot (ar) \cdot (ar^2) \cdot \ldots \cdot (ar^8)) = S\).
Сокращая подобные слагаемые, получаем:
\(\log_{10}(a^{10}r^{(0+1+2+\ldots+8)}) = S\).

Шаг 5: Упрощение выражения
Сокращение суммы в показателе логарифма дает нам: \(\log_{10}(a^{10}r^{36}) = S\).
Применяя свойство логарифмов \(\log_{b}(x^y) = y \log_{b}(x)\), мы можем переписать уравнение как: \(10 \log_{10}(a) + 36 \log_{10}(r) = S\).

Шаг 6: Решение уравнения и нахождение искомого произведения
Мы знаем, что первый и последний члены геометрической прогрессии равны \(a\) и \(ar^8\) соответственно. Чтобы найти их произведение, мы умножим их значения: \((a) \cdot (ar^8) = a^{(1+8)}r^8 = a^9r^8\).
Теперь мы можем решить уравнение, полученное в предыдущем шаге, относительно \(a\) и \(r\), используя данную сумму \(S\). Решение этого уравнения даст нам значения \(a\) и \(r\), которые мы сможем подставить в формулу для произведения первого и последнего членов геометрической прогрессии.

Я предоставлю вам решение этого уравнения на следующем шаге.