Какое уравнение параболы будет, если длина хорды, перпендикулярной оси симметрии и делящей пополам расстояние между

Misticheskiy_Zhrec

62

Если задана длина хорды \( l \), которая является перпендикулярной оси симметрии и делит на две равные части расстояние между фокусом и вершиной параболы, мы можем найти уравнение параболы. Давайте приступим к решению.

Предположим, что фокус параболы находится в точке \( F \), а вершина находится в точке \( V \). Расстояние между фокусом и вершиной обозначим за \( d \), а половину этого расстояния за \( \frac{1}{2}d \). Давайте обозначим половину длины хорды, перпендикулярной оси симметрии, как \( \frac{1}{2}l \).

Так как хорда делит расстояние между фокусом и вершиной пополам, можно записать следующее уравнение:

\[ \frac{1}{2}l = \frac{1}{4}d \]

Теперь давайте взглянем на геометрическое определение параболы. Парабола - это множество всех точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой. Таким образом, мы можем записать уравнение параболы с использованием фокуса \( F \) и директрисы \( D \).

Уравнение параболы имеет вид:

\[ PF = PD \]

Каждая точка на параболе обозначает расстояние от фокуса до точки и расстояние от точки до директрисы совпадают.

В нашем случае, расстояние от фокуса до точки на параболе равно \( \frac{1}{4}d \), а расстояние от точки до директрисы равно \( \frac{1}{2}l \).

Теперь мы можем записать уравнение параболы следующим образом:

\[ \frac{1}{4}d = \frac{1}{2}l \]

Чтобы упростить это уравнение, умножим обе части на 4:

\[ d = 2l \]

Таким образом, уравнение параболы будет \( d = 2l \), где \( d \) - это расстояние от фокуса до вершины параболы, а \( l \) - длина хорды, перпендикулярной оси симметрии и делящей пополам расстояние между фокусом и вершиной.

Надеюсь, это решение понятно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!