Каково распределение и ожидание случайной величины x, которая представляет собой наибольшее значение из двух

Aleksandrovna

23

Хорошо, чтобы решить данную задачу нам понадобится рассмотреть все возможные исходы для двух бросков игральной кости. Возможные результаты при бросании одной игральной кости - это числа от 1 до 6. Поэтому для двух бросков может быть 36 возможных исходов (6 исходов для первого броска и 6 исходов для второго броска).

Для решения задачи давайте рассмотрим все возможные исходы.

Если на первом броске выпало число 1, то наибольшим значением будет 1 независимо от результата второго броска.

Если на первом броске выпало число 2, тогда наибольшим значением будет либо 2 (если на втором броске выпадет тоже 2), либо 1 (если на втором броске выпадет любое число от 1 до 6, кроме 2).

Таким образом, мы можем продолжить анализ для каждого значения от 1 до 6 на первом броске и определить наибольшее значение для каждого из них.

1. Если на первом броске выпало число 3, то наибольшим значением будет либо 3 (если на втором броске выпадет тоже 3), либо 2 (если на втором броске выпадет число 4, 5 или 6), либо 1 (если на втором броске выпадет число 1 или 2).

2. Если на первом броске выпало число 4, то наибольшим значением будет либо 4 (если на втором броске выпадет тоже 4), либо 3 (если на втором броске выпадет число от 5 до 6), либо 2 (если на втором броске выпадет число 3), либо 1 (если на втором броске выпадет число от 1 до 2).

3. Если на первом броске выпало число 5, то наибольшим значением будет либо 5 (если на втором броске выпадет тоже 5), либо 4 (если на втором броске выпадет число 6), либо 3 (если на втором броске выпадет число от 3 до 4), либо 2 (если на втором броске выпадет число 2), либо 1 (если на втором броске выпадет число 1).

4. Если на первом броске выпало число 6, то наибольшим значением будет либо 6 (если на втором броске также выпадет 6), либо 5 (если на втором броске выпадет число от 4 до 5), либо 4 (если на втором броске выпадет число 3), либо 3 (если на втором броске выпадет число 2), либо 2 (если на втором броске выпадет число 1), либо 1 (если на втором броске изначально выпадет число 1).

Теперь, когда мы рассмотрели все возможные исходы для двух бросков, мы можем определить распределение случайной величины \(x\) - наибольшего значения из двух результатов бросания игральной кости.

Давайте составим таблицу распределения:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
x & Вероятность \\
\hline
1 & \(\frac{1}{36}\) \\
2 & \(\frac{3}{36}\) \\
3 & \(\frac{5}{36}\) \\
4 & \(\frac{7}{36}\) \\
5 & \(\frac{9}{36}\) \\
6 & \(\frac{11}{36}\) \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь перейдем к вычислению ожидания случайной величины \(x\).

Ожидание случайной величины можно вычислить по следующей формуле:

\[
E(x) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i),
\]

где \(x_i\) - значения случайной величины, а \(P(x_i)\) - соответствующие вероятности.

Подставив значения из таблицы распределения, мы получим:

\[
E(x) = 1 \cdot \frac{1}{36} + 2 \cdot \frac{3}{36} + 3 \cdot \frac{5}{36} + 4 \cdot \frac{7}{36} + 5 \cdot \frac{9}{36} + 6 \cdot \frac{11}{36} = \frac{161}{36} \approx 4.4722.
\]

Итак, распределение случайной величины \(x\) будет:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
x & Вероятность \\
\hline
1 & \(\frac{1}{36}\) \\
2 & \(\frac{3}{36}\) \\
3 & \(\frac{5}{36}\) \\
4 & \(\frac{7}{36}\) \\
5 & \(\frac{9}{36}\) \\
6 & \(\frac{11}{36}\) \\
\hline
\end{tabular}
\]

Ожидание случайной величины \(x\) равно примерно 4.4722.