Каково расстояние между двумя параллельными сечениями, проведенными по разные стороны от центра сферы радиусом

Олег

52

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойствами сферы и треугольника.

Первым шагом давайте определим, что такое сечение. Сечение - это плоская фигура, образованная пересечением поверхности сферы и плоскости. В данной задаче у нас есть два параллельных сечения, они проведены по разные стороны от центра сферы.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию более подробно. Мы имеем сферу с радиусом 5 см и два сечения, имеющих радиусы: 3 см и ... (мы не знаем радиус второго сечения, поэтому обозначим его как \( r \)).

Также важно отметить, что центр сферы является общей точкой для обоих сечений.

Теперь пришло время использовать свойства сферы. Мы знаем, что для любого сечения, проведенного через центр сферы, его радиус будет равен радиусу сферы. В нашем случае это 5 см.

Таким образом, радиус первого сечения равен 5 см, а радиус второго сечения равен \( r \) (который пока неизвестен).

Учитывая, что оба сечения параллельны и проведены по разные стороны от центра сферы, мы можем сказать, что расстояние между этими сечениями будет равно расстоянию между их центрами.

Теперь наша задача - найти расстояние между центрами сечений.

Для этого нам необходимо найти высоту \( h \) треугольника, образованного радиусом сферы и расстоянием между сечениями.

Давайте построим прямоугольный треугольник с высотой \( h \), основанием, состоящим из половины расстояния между центрами сечений, и гипотенузой, состоящей из радиуса сферы (5 см).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике выполняется следующее равенство:

\[ h^2 + \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = 5^2 \]

где \( d \) - расстояние между центрами сечений, \( \left(\dfrac{d}{2}\right) \) - половина этого расстояния.

Теперь давайте решим это уравнение относительно \( d \).

\[ h^2 + \dfrac{d^2}{4} = 25 \]

\[ 4h^2 + d^2 = 100 \]

\[ d^2 = 100 - 4h^2 \]

\[ d = \sqrt{100 - 4h^2} \]

Теперь нам нужно найти высоту \( h \). Обратимся к прямоугольному треугольнику, который мы построили ранее.

У нас есть два катета: радиус сферы (5 см) и половина разности радиусов сечений (\( \dfrac{5 - r}{2} \)). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту треугольника:

\[ h^2 = 5^2 - \left(\dfrac{5 - r}{2}\right)^2 \]

\[ h^2 = 25 - \left(\dfrac{5 - r}{2}\right)^2 \]

\[ h = \sqrt{25 - \left(\dfrac{5 - r}{2}\right)^2} \]

Теперь мы можем подставить найденное значение \( h \) в формулу для \( d \):

\[ d = \sqrt{100 - 4h^2} \]

\[ d = \sqrt{100 - 4\left(\sqrt{25 - \left(\dfrac{5 - r}{2}\right)^2}\right)^2} \]

Вот и все! Теперь у нас есть формула для расчета расстояния между двумя параллельными сечениями. Вы можете использовать эту формулу для нахождения точного значения расстояния, зная радиус второго сечения (\( r \)).