Каково расстояние между двумя прямыми на плоскости, заданными уравнениями 3x - y - 4 = 0 и 6x - 2y + 5

Игнат

61

Для нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости, заданными уравнениями, мы можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой. По сути, мы будем искать расстояние от произвольной точки одной прямой до другой прямой.

Для начала, давайте найдем две произвольные точки на каждой из прямых, чтобы использовать их в формуле расстояния. Пусть точка A(x₁, y₁) будет произвольной точкой на первой прямой 3x - y - 4 = 0, а точка B(x₂, y₂) произвольной точкой на второй прямой 6x - 2y + 5 = 0.

Для нахождения точек, мы можем положить одну из переменных равной нулю и решить уравнения. Давайте начнем с первой прямой:

Пусть y = 0:
3x - 0 - 4 = 0
3x = 4
x = \(\frac{4}{3}\)

Теперь найдем значение y, положив x = 0:
3(0) - y - 4 = 0
-y = 4
y = -4

Таким образом, точка A(x₁, y₁) будет иметь координаты A(\(\frac{4}{3}\), -4).

Теперь проделаем то же самое для второй прямой:

Пусть y = 0:
6x - 2(0) + 5 = 0
6x + 5 = 0
6x = -5
x = -\(\frac{5}{6}\)

Теперь найдем значение y, положив x = 0:
6(0) - 2y + 5 = 0
-2y = -5
y = \(\frac{5}{2}\)

Таким образом, точка B(x₂, y₂) будет иметь координаты B(-\(\frac{5}{6}\), \(\frac{5}{2}\)).

Теперь, когда у нас есть координаты двух произвольных точек на прямых, мы можем приступить к нахождению расстояния между ними с помощью формулы.

Формула для нахождения расстояния между точкой (x₀, y₀) и прямой Ax + By + C = 0 задается следующим образом:

\[d = \frac{|Ax₀ + By₀ + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Применяя эту формулу к нашим точкам A(\(\frac{4}{3}\), -4) и B(-\(\frac{5}{6}\), \(\frac{5}{2}\)), исходные уравнения для прямых в виде Ax + By + C = 0 можно переписать в виде y = mx + b, где m - это коэффициент наклона прямой, а b - это коэффициент смещения прямой.

Для первой прямой у нас имеется уравнение 3x - y - 4 = 0. Перенесем y на другую сторону и получим y = 3x - 4. Здесь m₁ (коэффициент наклона) равен 3, а b₁ (коэффициент смещения) равен -4.

Для второй прямой у нас имеется уравнение 6x - 2y + 5 = 0. Перенесем 2y на другую сторону и получим y = 3x + \(\frac{5}{2}\). Здесь m₂ (коэффициент наклона) равен 3, а b₂ (коэффициент смещения) равен \(\frac{5}{2}\).

Теперь подставим соответствующие значения в формулу расстояния и вычислим его:

\[d = \frac{|3(\frac{4}{3}) - 1(-4) - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|4 + 4 - 4|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|4|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}\]

Таким образом, расстояние между прямыми 3x - y - 4 = 0 и 6x - 2y + 5 = 0 равно \(\frac{2\sqrt{10}}{5}\) единиц.