Каково расстояние между прямыми bc1 и b1d1 в кубе abcda1b1c1d1 с длиной ребра равной

Vladimirovna

16

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Начнем с построения куба. У нас есть куб abcda1b1c1d1, где каждый угол обозначен буквой, а каждая сторона - значением этой буквы.

2. Задача состоит в вычислении расстояния между прямыми bc1 и b1d1.

3. Первым шагом определим уравнения этих двух прямых.

4. Прямая bc1 проходит через точки b и c1.

- Точка b имеет координаты (1, 0, 0).
- Точка c1 имеет координаты (0, 1, 1).

Чтобы найти уравнение прямой, нужно найти векторное уравнение, которое будет проходить через эти две точки. Векторное уравнение прямой можно представить следующим образом:

\(\vec{r} = \vec{b} + t\vec{v}\),

где \(\vec{r}\) - позиционный вектор точки на прямой, \(\vec{b}\) - вектор, указывающий на одну из точек на прямой, \(t\) - параметр, который будет изменяться, и \(\vec{v}\) - вектор, указывающий направление прямой.

Для нахождения векторного уравнения прямой, нам необходимо знать направляющий вектор \(\vec{v}\). Мы можем его получить, вычтя векторы точек b и c1:

\(\vec{v} = \vec{c1} - \vec{b} = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1)\).

Итак, уравнение прямой bc1 будет выглядеть следующим образом:

\(\vec{r} = (1, 0, 0) + t(-1, 1, 1)\).

5. Теперь посмотрим на прямую b1d1. Она проходит через точки b1 и d1.

- Точка b1 имеет координаты (0, 0, 1).
- Точка d1 имеет координаты (1, 1, 1).

Аналогично предыдущему шагу, найдем направляющий вектор прямой:

\(\vec{v} = \vec{d1} - \vec{b1} = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0)\).

Тогда уравнение прямой b1d1 будет выглядеть следующим образом:

\(\vec{r} = (0, 0, 1) + t(1, 1, 0)\).

6. Теперь, когда у нас есть уравнения двух прямых, нам нужно найти расстояние между ними.

Для этого найдем расстояние между двумя параллельными прямыми. Расстояние между параллельными прямыми можно выразить формулой:

\[d = \frac{{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}}{{|\vec{n}|}}\],

где \(\vec{AB}\) - направляющий вектор между двумя прямыми, \(\vec{n}\) - направляющий вектор одной из прямых, \(|\vec{AB} \cdot \vec{n}|\) - модуль скалярного произведения этих векторов, и \(|\vec{n}|\) - модуль направляющего вектора.

Подставим значения для прямых bc1 и b1d1 и найдем расстояние:

Для прямой bc1:
\(\vec{AB} = (0, 1, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 1)\).

Для прямой b1d1:
\(\vec{n} = (1, 1, 0)\).

Теперь найдем модуль скалярного произведения:
\(|\vec{AB} \cdot \vec{n}| = |-1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0| = 2\).

А также модуль направляющего вектора прямой bc1:
\(|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\).

Итак, расстояние между прямыми bc1 и b1d1 равно:
\[d = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547\,.\]

7. Ответ: Расстояние между прямыми bc1 и b1d1 составляет примерно 1.1547 единицы длины.

Надеюсь, этот ответ понятен школьнику и помогает ему разобраться с задачей.