Каково расстояние между точками A и B, если здание имеет высоту 100 метров, видимое под углом 30 градусов из точки

Pylayuschiy_Drakon

17

Для решения данной задачи воспользуемся геометрическими знаниями и теорией тригонометрии.

Пусть точка A находится на некоем горизонтальном уровне, а точка B - на высоте 100 метров относительно этого уровня.

В данном случае мы имеем дело с прямоугольным треугольником ABC, где А - точка наблюдения, B - вершина здания, BC - горизонтальное расстояние от точки А до здания, AB - высота здания.

Мы знаем, что угол BAC равен 30 градусам, а угол BCA равен 45 градусам.

Так как у нас есть два угла треугольника, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения сторон треугольника.

Используя соотношение для тангенса угла, можем записать:

\[
\tan 30^\circ = \frac{AB}{BC}
\]

\[
\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{AB}{BC}
\]

Домножим обе части уравнения на BC:

\[
AB = BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

Таким образом, мы выразили AB через BC.

Теперь воспользуемся соотношением для тангенса угла в треугольнике BCA:

\[
\tan 45^\circ = \frac{AB+100}{BC}
\]

Подставляем выражение для AB:

\[
1 = \frac{BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 100}{BC}
\]

Упрощаем уравнение:

\[
1 = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{100}{BC}
\]

Переносим слагаемое \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) в другую сторону:

\[
\frac{100}{BC} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}
\]

\[
\frac{100}{BC} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}
\]

Теперь найдем обратную величину к обоим частям уравнения:

\[
\frac{BC}{100} = \frac{3}{3 - \sqrt{3}}
\]

\[
BC = \frac{100 \cdot 3}{3 - \sqrt{3}}
\]

Подставляем данное значение BC в первое уравнение:

\[
AB = \frac{BC \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{100 \cdot 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}}{3}
\]

\[
AB = \frac{100 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) \cdot 3}
\]

Раскрываем скобки:

\[
AB = \frac{300 \cdot \sqrt{3}}{9 - 3\sqrt{3}}
\]

Таким образом, расстояние между точками A и B равно \(\frac{300 \cdot \sqrt{3}}{9 - 3\sqrt{3}}\) метров.