Каково расстояние между точкой М(2;-1;9) и плоскостью координат: а) Oxy; б) Oxz?

Солнечный_Пирог

65

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

а) Нам нужно найти расстояние между точкой М и плоскостью Oxy. Плоскость Oxy - это плоскость, проходящая через ось x и ось y и параллельная оси z.

1) Начнем с определения уравнения плоскости Oxy. Поскольку она параллельна оси z, уравнение плоскости будет иметь вид z = k, где k - какое-то число.

2) Подставим координаты точки М (2, -1, 9) в уравнение плоскости. Получим 9 = k. Таким образом, k = 9.

3) Чтобы найти расстояние от точки М до плоскости Oxy, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, а (x, y, z) - координаты точки.

4) Для плоскости Oxy у нас есть следующее уравнение: z = 9. Преобразуем его к виду, пригодному для использования в формуле расстояния: z - 9 = 0.

5) Теперь мы можем выразить коэффициенты A, B, C и D для уравнения плоскости Oxy. Учитывая, что у нас нет слагаемых x и y, A = 0, B = 0, C = 1 (так как коэффициент перед z равен 1), и D = -9 (чтобы привести уравнение к виду Ax + By + Cz + D = 0).

6) Подставим значения коэффициентов и координат точки М в формулу для расстояния:

\[d = \frac{{|0 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 9 + (-9)|}}{{\sqrt{{0^2 + 0^2 + 1^2}}}}\]

\[d = \frac{{|0 + 9 - 9|}}{{\sqrt{{0 + 0 + 1}}}} = \frac{{0}}{{1}} = 0\]

Таким образом, расстояние между точкой М и плоскостью Oxy равно 0.

б) Теперь давайте найдем расстояние между точкой М и плоскостью Oxz. Плоскость Oxz - это плоскость, проходящая через ось x и ось z и параллельная оси y.

1) Аналогично пункту а), начнем с определения уравнения плоскости Oxz. Поскольку она параллельна оси y, уравнение плоскости будет иметь вид y = k, где k - какое-то число.

2) Подставим координаты точки М (2, -1, 9) в уравнение плоскости. Получим -1 = k. Таким образом, k = -1.

3) Подставим значения коэффициентов и координат точки М в формулу для расстояния:

\[d = \frac{{|0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 9 + (-1)|}}{{\sqrt{{0^2 + 1^2 + 0^2}}}}\]

\[d = \frac{{|-1 -1|}}{{\sqrt{{0 + 1 + 0}}}} = \frac{{2}}{{1}} = 2\]

Таким образом, расстояние между точкой М и плоскостью Oxz равно 2.

Итак, расстояние между точкой М(2, -1, 9) и плоскостью координат:
а) Оxy равно 0;
б) Oxz равно 2.