Каков угол между векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗ в данной ситуации, если координаты точек M, N, K и P заданы следующим

Донна

30

Для нахождения угла между векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗, мы можем использовать следующую формулу:

\[
\cos\theta = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}}
\]

где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, \(\cdot\) обозначает скалярное произведение, а \(|\mathbf{a}|\) - это длина вектора \(\mathbf{a}\).

Давайте найдем значения \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) для данных векторов.

Вектор \(\mathbf{a}\) (вектору (MN) ⃗) можно представить, вычислив разность координат точек N и M:

\[
\mathbf{a} = \mathbf{N} - \mathbf{M}
\]

Таким образом,

\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}
\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]

Теперь найдем вектор \(\mathbf{b}\) (вектору (KP) ⃗), вычислив разность координат точек P и K:

\[
\mathbf{b} = \mathbf{P} - \mathbf{K}
\]

Таким образом,

\[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}
\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\]

Теперь, когда у нас есть значения векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\), мы можем продолжить и найти угол \(\theta\) между ними.

Для этого вычислим скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1 \cdot 1) + (1 \cdot 0) + (-2 \cdot -1) = 1 + 0 + 2 = 3
\]

Теперь найдем длины векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\):

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}
\]

\[
|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
\]

Подставив значения в формулу \(\cos\theta\), получим:

\[
\cos\theta = \frac{3}{{\sqrt{6}\sqrt{2}}}
\]

Теперь можем вычислить значение угла \(\theta\). Воспользуемся обратной функцией косинуса, чтобы найти угол по его косинусу:

\[
\theta = \arccos\left(\frac{3}{{\sqrt{6}\sqrt{2}}}\right)
\]

Используя калькулятор, найдем приближенное значение угла:

\[
\theta \approx 0.7263 \text{ радиан} \approx 41.64^\circ
\]

Таким образом, угол между векторами (MN) ⃗ и (KP) ⃗ составляет примерно 41.64 градуса (или 0.7263 радиан).