Каково расстояние от центра окружности до касательной прямой n, если радиус окружности составляет

Yastreb

7

Для решения данной задачи, нам необходимо установить формулу, которая позволяет найти расстояние от центра окружности до касательной прямой.

Пусть \( r \) - радиус окружности, \( d \) - расстояние от центра окружности до касательной прямой \( n \).

Для начала, давайте посмотрим на геометрическую связь между радиусом окружности, расстоянием от центра до касательной и самой касательной.

Для этого, представим окружность и пусть точка \( A \) будет центром окружности, а \( P \) - точкой на пересечении радиуса и касательной \( n \).

Также обозначим точку пересечения радиуса и касательной как точку \( M \).

Теперь, по определению, радиус окружности \( AP \) перпендикулярен касательной \( n \), следовательно он является высотой прямоугольного треугольника \( APM \).

Теперь коснемся основания опущенной высоты (точки расстояния до касательной), и обозначим эту точку как \( H \).

Треугольник \( MHP \) - прямоугольный треугольник, поскольку \( AP \) является высотой. Треугольник \( MAH \) также является прямоугольным треугольником, так как \( AH \) является высотой.

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника: \( APM \) и \( MHP \).

Мы можем использовать пропорцию между сторонами этих треугольников, чтобы найти расстояние от центра окружности до касательной.

По свойству подобных треугольников, отношение любых двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника будет одинаково.

Таким образом, мы можем записать:

\[
\frac{{AP}}{{PM}} = \frac{{MH}}{{HP}}
\]

Здесь \( AP = r \) и \( PM = r \) (поскольку это радиус окружности), а \( MH = d \) (так как это расстояние от центра до касательной) и \( HP = r - d \).

Заменяя значения в уравнении, мы получим:

\[
\frac{{r}}{{r}} = \frac{{d}}{{r-d}}
\]

Упростим это уравнение:

\[
r = \frac{{d}}{{r-d}}
\]

Теперь давайте решим его, чтобы найти значение \( d \).

Перемножим обе стороны уравнения на \( r-d \):

\[
r(r-d) = d
\]

Раскроем скобки:

\[
r^2 - rd = d
\]

Теперь перегруппируем уравнение:

\[
r^2 = d + rd
\]

Факторизуем \( d \) из правой части уравнения:

\[
r^2 = d(1 + r)
\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \( 1 + r \):

\[
\frac{{r^2}}{{1 + r}} = d
\]

Таким образом, мы получили окончательное выражение для расстояния от центра окружности до касательной прямой \( n \):

\[
d = \frac{{r^2}}{{1 + r}}
\]

Теперь мы можем подставить значение радиуса окружности в это уравнение, чтобы получить конкретное значение для расстояния \( d \).