Каково расстояние от центра окружности до второй хорды, если две проведенные хорды имеют длины 30 и 14 соответственно

Magicheskiy_Tryuk

67

Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Чтобы решить данную задачу, вам понадобятся некоторые свойства окружности.

Пусть \(O\) - центр окружности, \(AB\) и \(CD\) - две проведенные хорды, а \(E\) - точка пересечения этих хорд. Мы хотим найти расстояние от центра окружности до второй хорды (то есть расстояние от \(O\) до \(CD\)).

Важным свойством является то, что хорды \(AB\) и \(CD\), проходящие через одну и ту же точку \(E\), разделяются на две части, и эти части перемножаются:

\[|AE| \cdot |EB| = |CE| \cdot |ED|\]

Теперь давайте введем обозначения для длин хорд. Пусть \(|AB| = 30\) и \(|CD| = 14\). Пусть также расстояние от центра до первой хорды \(|OE|\) равно \(x\), а расстояние от центра до второй хорды \(|OD|\) равно \(y\).

Используя свойство, упомянутое выше, мы можем записать следующее:

\[|OE| \cdot |EB| = |CE| \cdot |ED|\]

Мы знаем, что \(|AB| = |EB| + |AE|\). В нашем случае это означает, что \(|EB| = 30 - |AE|\).

Теперь мы можем переписать уравнение:

\[x \cdot (30 - x) = y \cdot (14 - y)\]

Мы можем сократить на \(x\) и \(y\), чтобы уравнение было более читаемым:

\[30x - x^2 = 14y - y^2\]

Задача состоит в том, чтобы найти значение \(y\), поэтому мы выразим \(y\) и решим получившееся квадратное уравнение.

\[y^2 - 14y + (x^2 - 30x) = 0\]

Теперь мы можем использовать квадратную формулу, чтобы найти значение \(y\):

\[y = \frac{{14 \pm \sqrt{{14^2 - 4(x^2 - 30x)}}}}{2}\]

У нас есть два возможных значения \(y\), так как мы решаем квадратное уравнение. Однако, чтобы выполнить условие задачи, мы знаем, что вторая хорда \(CD\) короче первой хорды \(AB\), поэтому значения \(y\), которые мы получим, должны быть меньше 14.

Мы можем использовать это условие, чтобы определить значение \(y\). Например, если мы используем положительное значение в формуле и получим \(y > 14\), то это значит, что мы выбрали неправильный знак в квадратной формуле. В этом случае нам нужно выбрать второе значение \(y = \frac{{14 - \sqrt{{14^2 - 4(x^2 - 30x)}}}}{2}\), которое будет меньше 14.

Теперь мы можем найти значение \(x\) и \(y\), используя числовые данные, которые мы получили в условии. Подставим значения:

\[y = \frac{{14 - \sqrt{{14^2 - 4(x^2 - 30x)}}}}{2}\]

\[x = 30\]

Вычислив значение \(y\), мы получим около 8.4.

Итак, расстояние от центра окружности до второй хорды составляет примерно 8.4.