Каково расстояние от точки (1; 0) на параболе y^2=4x-4 до её директрисы?

Sladkaya_Babushka

27

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Начнем с определения параболы и ее директрисы. Парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и прямой, называемой директрисой. В данном случае у нас дана парабола с уравнением \(y^2 = 4x - 4\), где фокус F находится в начале координат (0,0) и директриса - это прямая \(x = -1\).

2. Для нахождения расстояния между точкой на параболе и ее директрисой, мы должны найти вертикальное расстояние между ними. Для этого нам нужно найти координаты точки на параболе, которая наиболее близка к директрисе.

3. Расстояние от точки на параболе до директрисы можно найти, используя формулу:

\[d = \frac{{|4a - x_0|}}{{\sqrt{1 + a^2}}}\]

Где \(d\) - искомое расстояние, \(a\) - коэффициент при \(x\) в уравнении параболы, а \(x_0\) - абсцисса данной точки на параболе.

4. Подставим значения из уравнения параболы в формулу. В данном случае \(a = 1\) и \(x_0 = 1\):

\[d = \frac{{|4 \cdot 1 - 1|}}{{\sqrt{1 + 1^2}}} = \frac{{|4 - 1|}}{{\sqrt{1 + 1}}} = \frac{3}{\sqrt{2}}\]

5. Полученное значение, \(\frac{3}{\sqrt{2}}\), является окончательным ответом.