Каково расстояние от точки M до плоскости (ABC), если M не находится в плоскости треугольника ABC и известно, что MA=8

Ирина

28

Чтобы найти расстояние от точки M до плоскости (ABC), необходимо использовать формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. Данная формула задается следующим образом:

\[d = \frac{{|AX \cdot n|}}{{|n|}}\]

где:
- d - расстояние от точки до плоскости,
- AX - вектор, идущий от точки M до любой точки X на плоскости (ABC),
- n - нормальный вектор плоскости (ABC).

Для начала нам необходимо найти нормальный вектор плоскости (ABC). Учитывая, что плоскость задана треугольником ABC, мы можем использовать векторное произведение двух векторов в плоскости для нахождения нормального вектора.

Возьмем два вектора: AB и AC. Вектор AB можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B:

\[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\]

Аналогично, вектор AC можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки C:

\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\]

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости (ABC), выполнив векторное произведение векторов AB и AC:

\[n = \vec{AB} \times \vec{AC}\]

После нахождения нормального вектора плоскости (ABC) и точки M, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{{|AM \cdot n|}}{{|n|}}\]

Теперь приступим к вычислениям. Для начала найдем векторы AB и AC:

\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\)

Подставляя значения из условия задачи, получим:

\(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (9 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (9, 0, 0)\)

\(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)\)

Подставляя значения из условия задачи, получим:

\(\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (0 - 0, 12 - 0, 0 - 0) = (0, 12, 0)\)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости (ABC), выполнив векторное произведение векторов AB и AC:

\(n = \vec{AB} \times \vec{AC}\)

Рассчитаем векторное произведение:

\(n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 9 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 12 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 0, 9 \cdot 12 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 108)\)

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор плоскости (ABC) и известны координаты точки M, мы можем рассчитать расстояние д:

\(d = \frac{{|AM \cdot n|}}{{|n|}}\)

Расстояние от точки M до плоскости (ABC) будет равно:

\(d = \frac{{|8 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 108|}}{{\sqrt{0^2 + 0^2 + 108^2}}} = \frac{{0}}{{108}} = 0\)

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости (ABC) равно 0. Объяснив все по шагам, мы можем видеть, что точка M находится в плоскости (ABC), так как расстояние равно 0.