Докажите, что плоскость, содержащая середины ребер mn, ne и nf в тетраэдре nmef, параллельна плоскости mef. Также

  • 62
Докажите, что плоскость, содержащая середины ребер mn, ne и nf в тетраэдре nmef, параллельна плоскости mef. Также найдите площадь плоскости mef, если площадь плоскости abc равна данной.
Amina
14
Для начала, рассмотрим тетраэдр NMFE и его ребра MN,NE и NF. Мы должны доказать, что плоскость, проходящая через середины этих ребер, параллельна плоскости MEF.

Предположим, что P и Q - середины ребер MN и NE соответственно. Это означает, что мы можем выразить точки P и Q следующим образом:

P=12(M+N)
Q=12(N+E)

Теперь, давайте рассмотрим векторы MP и MQ.

MP=PM=12(M+N)M=12N12M=12MN
MQ=QM=12(N+E)M=12E+12NM=12NE+12MN

Заметим, что MP и MQ - это векторы, которые описывают ребра MN и NE нашего тетраэдра.

Теперь давайте рассмотрим векторное произведение MP×MQ.

MP×MQ=(12MN)×(12NE+12MN)

Раскроем это векторное произведение:

MP×MQ=12(MN×NE+MN×MN)

Заметим, что MN×MN=0, поскольку векторное произведение вектора самого на себя равно нулю.

После этого, у нас остается только одно слагаемое:

MP×MQ=12(MN×NE)

Так как MN×NE является нормалью к плоскости MNE, получаем, что векторное произведение MP×MQ параллельно этой плоскости.

Теперь рассмотрим вектор ME.

ME=EM

Теперь, чтобы доказать, что плоскость MNE параллельна плоскости MEF, нам нужно установить, что вектор MP×MQ параллелен вектору ME.

Для этого, возьмем скалярное произведение этих векторов и убедимся, что оно равно нулю.

MP×MQME=12(MN×NE)(EM)

Раскроем это скалярное произведение:

MP×MQME=12(MN×NE)ME12(MN×NE)MM

Заметим, что MN×NE ортогонален вектору MM, так как векторное произведение вектора идентичного нулю и любого другого вектора равно нулю.

Следовательно, (MN×NE)MM=0, и у нас остается только одно слагаемое:

MP×MQME=12(MN×NE)ME

Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что вектор MP×MQ параллелен вектору ME, что и требовалось доказать.

Теперь перейдем ко второй части задачи и найдем площадь плоскости MEF, если площадь плоскости ABC равна данной.

По определению, площадь плоскости можно выразить через векторное произведение двух ее сторон.

Давайте выберем стороны ME и MF в качестве таких сторон.

Тогда площадь плоскости MEF равна:

Smef=12||ME×MF||

Таким образом, чтобы найти площадь плоскости MEF, нам нужно найти модуль векторного произведения векторов ME и MF.

Удачи!