Докажите, что плоскость, содержащая середины ребер mn, ne и nf в тетраэдре nmef, параллельна плоскости mef. Также

Amina

14

Для начала, рассмотрим тетраэдр $NMFE$ и его ребра $MN,NE$ и $NF$. Мы должны доказать, что плоскость, проходящая через середины этих ребер, параллельна плоскости $MEF$.

Предположим, что $P$ и $Q$ - середины ребер $MN$ и $NE$ соответственно. Это означает, что мы можем выразить точки $P$ и $Q$ следующим образом:

$$P=\frac{1}{2}(M+N)$$
$$Q=\frac{1}{2}(N+E)$$

Теперь, давайте рассмотрим векторы $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{MQ}$.

$$\overrightarrow{MP}=P-M=\frac{1}{2}(M+N)-M=\frac{1}{2}N-\frac{1}{2}M=\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$$
$$\overrightarrow{MQ}=Q-M=\frac{1}{2}(N+E)-M=\frac{1}{2}E+\frac{1}{2}N-M=\frac{1}{2}\overrightarrow{NE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$$

Заметим, что $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{MQ}$ - это векторы, которые описывают ребра $MN$ и $NE$ нашего тетраэдра.

Теперь давайте рассмотрим векторное произведение $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}$.

$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}\right)\times (\frac{1}{2}\overrightarrow{NE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{MN})$$

Раскроем это векторное произведение:

$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE}+\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MN})$$

Заметим, что $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MN}=0$, поскольку векторное произведение вектора самого на себя равно нулю.

После этого, у нас остается только одно слагаемое:

$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE})$$

Так как $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE}$ является нормалью к плоскости $MNE$, получаем, что векторное произведение $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}$ параллельно этой плоскости.

Теперь рассмотрим вектор $\overrightarrow{ME}$.

$$\overrightarrow{ME}=E-M$$

Теперь, чтобы доказать, что плоскость $MNE$ параллельна плоскости $MEF$, нам нужно установить, что вектор $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}$ параллелен вектору $\overrightarrow{ME}$.

Для этого, возьмем скалярное произведение этих векторов и убедимся, что оно равно нулю.

$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE})\cdot (E-M)$$

Раскроем это скалярное произведение:

$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE})\cdot \overrightarrow{ME}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE})\cdot \overrightarrow{MM}$$

Заметим, что $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE}$ ортогонален вектору $\overrightarrow{MM}$, так как векторное произведение вектора идентичного нулю и любого другого вектора равно нулю.

Следовательно, $(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE})\cdot \overrightarrow{MM}=0$, и у нас остается только одно слагаемое:

$$\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{NE})\cdot \overrightarrow{ME}$$

Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что вектор $\overrightarrow{MP}\times \overrightarrow{MQ}$ параллелен вектору $\overrightarrow{ME}$, что и требовалось доказать.

Теперь перейдем ко второй части задачи и найдем площадь плоскости $MEF$, если площадь плоскости $ABC$ равна данной.

По определению, площадь плоскости можно выразить через векторное произведение двух ее сторон.

Давайте выберем стороны $ME$ и $MF$ в качестве таких сторон.

Тогда площадь плоскости $MEF$ равна:

$$S_{\text{mef}}=\frac{1}{2}||\overrightarrow{ME}\times \overrightarrow{MF}||$$

Таким образом, чтобы найти площадь плоскости $MEF$, нам нужно найти модуль векторного произведения векторов $\overrightarrow{ME}$ и $\overrightarrow{MF}$.

Удачи!