Каково расстояние от точки М до плоскости ромба, если сторона ромба равна 4 см, а острый угол равен 60 градусов

Svetik

22

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать геометрические понятия и формулы. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Для начала построим ромб со стороной 4 см и острым углом 60 градусов. Учитывая, что острый угол ромба равен 60 градусам, мы можем использовать свойство равностороннего треугольника, где все стороны равны. Таким образом, все стороны ромба имеют одинаковую длину - 4 см.

2. Представим плоскость ромба как горизонтальную плоскость на координатной плоскости, где ромб расположен таким образом, что центр ромба находится в точке (0, 0) и стороны ромба параллельны осям координат.

3. Положение точки M, удаленной от каждой стороны ромба на расстояние h, мы будем искать в верхней части плоскости ромба.

4. Рассмотрим только одну сторону ромба и ее уравнение. Мы можем выбрать любую из четырех сторон, поскольку все они одинаковы. Например, выберем верхнюю горизонтальную сторону ромба.

5. Уравнение верхней стороны ромба можно записать в виде y = 2. Вспомним, что координата x точки M равна 0. Таким образом, точка M в нашем случае представляет собой (0, h).

6. Теперь нам нужно найти расстояние от точки M до плоскости ромба. Для этого мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

7. Формула для расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{{|ax + by + c|}}{{\sqrt{a^2 + b^2}}}\]

где (x, y) - координаты точки, а, b, c - коэффициенты уравнения плоскости.

8. В нашем случае уравнение верхней стороны ромба имеет вид y = 2. Уравнение можно переписать в виде 2y - x = 0. Таким образом, a = -1, b = 2 и c = 0.

9. Подставим координаты точки M (0, h) и значения коэффициентов в формулу расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{{|-1 \cdot 0 + 2 \cdot h + 0|}}{{\sqrt{(-1)^2 + 2^2}}}\]

\[d = \frac{{2h}}{{\sqrt{5}}}\]

Таким образом, расстояние от точки М до плоскости ромба равно \(\frac{{2h}}{{\sqrt{5}}}\).

10. Остается только найти значение h, то есть расстояние от точки M до верхней стороны ромба. Для этого мы можем использовать тригонометрические соотношения в равностороннем треугольнике.

11. Равносторонний треугольник по определению имеет все стороны одинаковой длины, в нашем случае это 4 см. Также, угол между сторонами равен 60 градусам.

12. В равностороннем треугольнике все высоты равны между собой и делят основание пополам. Таким образом, значение h равно половине высоты в равностороннем треугольнике.

13. В равностороннем треугольнике высота может быть выражена следующей формулой:

\[h = \frac{{a \sqrt{3}}}{2}\]

где a - длина стороны треугольника.

14. В нашем случае a равно 4 см:

\[h = \frac{{4 \cdot \sqrt{3}}}{2}\]

\[h = 2 \sqrt{3}\]

15. Теперь, зная значение h, мы можем найти расстояние от точки M до плоскости ромба:

\[d = \frac{{2h}}{{\sqrt{5}}} = \frac{{2 \cdot 2 \sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}} = \frac{{4 \sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}}\]

Итак, расстояние от точки М до плоскости ромба составляет \(\frac{{4 \sqrt{3}}}{{\sqrt{5}}}\) (см).

Таким образом, мы разобрали задачу и получили подробное объяснение и шаги для ее решения.