Каково расстояние от точки В до точки А на сфере диаметром 24 см, если в плоскости проходит касательная к сфере

Skorostnaya_Babochka_831

57

Для решения этой задачи нам понадобится некоторое геометрическое и алгебраическое рассмотрение.

Предположим, что точка В находится на поверхности сферы, а точка А - внутри сферы. Для начала, давайте найдем радиус сферы. Известно, что диаметр сферы равен 24 см, поэтому радиус может быть найден, разделив диаметр на 2: \(r = \frac{24 \, \text{см}}{2} = 12 \, \text{см}\).

Теперь представим, что плоскость проходит через точку В и касается сферы. Наиболее краткое расстояние от точки В до сферы - это расстояние от точки В до точки касания плоскости с сферой. Пусть точка касания обозначается как К.

Так как расстояние от точки В до сферы равно 1 см, а радиус сферы равен 12 см, мы можем сформулировать следующее равенство:
\[VK = 1 \, \text{см}\]

Также, так как точка В находится на поверхности сферы, а точка К находится внутри сферы, мы можем сформулировать следующее равенство:
\[BV = BK + VK\]

Теперь, давайте найдем длину отрезка BK. Для этого нам нужно найти правильный треугольник, в котором BK будет являться одной из сторон.

У нас есть прямоугольный треугольник OBK, где OK - это высота, опущенная на гипотенузу OB. Обозначим длину окружности сферы как С.

Мы знаем, что диаметр равен 24 см, значит длина окружности C равна \(C = \pi \cdot d = \pi \cdot 24 \, \text{см}\).

Теперь изобразим этот треугольник:

\[
\begin{align*}
OB & = 12 \, \text{см} \\
OK & = 12 \, \text{см} \quad \text{(как радиус сферы)} \\
BK & = ? \\
\end{align*}
\]

Мы можем применить теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[
OK^2 + BK^2= OB^2
\]

\[
12^2 + BK^2 = 12^2
\]

\[
BK^2 = 0
\]

\[
BK = 0 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина отрезка BK равна 0 см.

Вернемся к уравнению \(BV = BK + VK\). Теперь, когда мы знаем, что BK равно 0 см, остается только VK:

\(BV = 0 + VK\)

\(BV = VK\)

\(BV = 1 \, \text{см}\)

Таким образом, расстояние от точки В до точки А на сфере равно 1 см.