Найдите значение синуса угла между плоскостями ehg и fhg1, если длина ребра куба равна

Путник_С_Звездой

50

Для нахождения значения синуса угла между плоскостями ehg и fhg1 нам необходимо знать некоторые дополнительные данные, такие как координаты точек на этих плоскостях.
Поскольку в условии задачи такие данные не указаны, мы не можем найти точное значение синуса этого угла. Однако, я могу объяснить, как найти значение синуса угла между плоскостями на примере.

Пусть точки e(1, 0, 0), h(0, 1, 0), g(0, 0, 1) и f(1, 1, 1) принадлежат плоскости ehg, а точки f(1, 1, 1), h(0, 1, 0), g1(0, 0, 2) принадлежат плоскости fhg1. Здесь г1 - новая точка, обозначающая конец продолжения стороны г куба.

Сначала мы найдем нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости ehg можно найти, взяв векторное произведение векторов eh и eg:

\[
\vec{n}_1 = \vec{eh} \times \vec{eg}
\]

\[
\vec{eh} = \vec{e}-\vec{h} = (1, 0, 0) - (0, 1, 0) = (1, -1, 0)
\]

\[
\vec{eg} = \vec{e}-\vec{g} = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1)
\]

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов:

\[
\vec{n}_1 = (1, -1, 0) \times (1, 0, -1) = (-1, -1, 1)
\]

Теперь найдем нормаль к плоскости fhg1, используя векторное произведение векторов fh и fg1:

\[
\vec{n}_2 = \vec{fh} \times \vec{fg1}
\]

\[
\vec{fh} = \vec{f}-\vec{h} = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1)
\]

\[
\vec{fg1} = \vec{f}-\vec{g1} = (1, 1, 1) - (0, 0, 2) = (1, 1, -1)
\]

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов:

\[
\vec{n}_2 = (1, 0, 1) \times (1, 1, -1) = (1, 2, 1)
\]

Затем мы можем найти синус угла между плоскостями ehg и fhg1, используя следующую формулу:

\[
\sin \theta = \frac{{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}}{{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}}
\]

\[
|\vec{n}_1| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}
\]

\[
|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}
\]

\[
\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (-1, -1, 1) \cdot (1, 2, 1) = -1 + (-2) + 1 = -2
\]

Теперь можем вычислить синус угла между плоскостями:

\[
\sin \theta = \frac{{|-2|}}{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{18}}} = \frac{{2}}{{3\sqrt{2}}}
\]

Таким образом, мы можем установить значение синуса угла между плоскостями ehg и fhg1 равным \(\frac{{2}}{{3\sqrt{2}}}\).

Обратите внимание, что для реальной задачи значения точек и векторов будут другими, но подход решения останется тем же.