Каково разложение вектора D1N по векторам d1a1, d1c1 и d1d в параллелепипеде abcda1b1c1d1?

Karina

4

Для решения этой задачи нам необходимо разложить вектор \(\vec{D1N}\) на составляющие по векторам \(\vec{d1a1}\), \(\vec{d1c1}\) и \(\vec{d1d}\) в параллелепипеде \(abcda1b1c1d1\).

Чтобы найти разложение вектора \(\vec{D1N}\), мы можем использовать метод аналитической геометрии, используя координаты точек.

Пусть координаты точки \(D_1\) равны \((x_{D1}, y_{D1}, z_{D1})\), координаты точки \(N\) равны \((x_N, y_N, z_N)\), координаты точек \(A_1\), \(C_1\), \(D\) равны \((x_{A1}, y_{A1}, z_{A1})\), \((x_{C1}, y_{C1}, z_{C1})\), \((x_D, y_D, z_D)\) соответственно.

Тогда вектор \(\vec{D1N}\) выражается следующим образом:
\[
\vec{D1N} = \vec{D1A1} + \vec{A1N}
\]

Раскладывая \(\vec{D1A1}\) на составляющие вдоль векторов \(\vec{d1a1}\), \(\vec{d1c1}\) и \(\vec{d1d}\), получаем:
\[
\vec{D1A1} = \alpha \cdot \vec{d1a1} + \beta \cdot \vec{d1c1} + \gamma \cdot \vec{d1d}
\]

Теперь определим коэффициенты \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) с помощью векторного алгебраического равенства:
\[
\vec{D1A1} = \vec{D1N} - \vec{A1N}
\]

Используя компоненты координатных векторов, получим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x_{D1A1} = x_{D1N} - x_{A1N} \\
y_{D1A1} = y_{D1N} - y_{A1N} \\
z_{D1A1} = z_{D1N} - z_{A1N}
\end{cases}
\]

Разрешая эту систему уравнений относительно \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\), мы получим значения этих коэффициентов, которые позволят нам разложить вектор \(\vec{D1N}\) на составляющие вдоль векторов \(\vec{d1a1}\), \(\vec{d1c1}\) и \(\vec{d1d}\).

После нахождения значений \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) мы можем записать ответ в виде:
\[
\vec{D1N} = (\alpha \cdot \vec{d1a1}) + (\beta \cdot \vec{d1c1}) + (\gamma \cdot \vec{d1d})
\]

Таким образом, мы можем получить подробное разложение вектора \(\vec{D1N}\) по векторам \(\vec{d1a1}\), \(\vec{d1c1}\) и \(\vec{d1d}\).