Каково решение неравенства x-2 / 3-x больше или равно?

Светлячок_В_Траве

55

Давайте разберемся с этой задачей пошагово. Нам нужно найти решение неравенства \(\frac{{x - 2}}{{3 - x}} \geq 0\).

Шаг 1: Найдем значения, при которых выражение \(\frac{{x - 2}}{{3 - x}}\) равно нулю или неопределено. Чтобы выражение стало нулевым, нужно, чтобы числитель \(x - 2\) равнялся нулю. Решим уравнение \(x - 2 = 0\) и найдем, что \(x = 2\). А чтобы выражение было неопределено, нужно, чтобы знаменатель \(3 - x\) равнялся нулю. Решим уравнение \(3 - x = 0\) и найдем, что \(x = 3\).

Шаг 2: Построим числовую ось и разделим ее на три интервала: \((-\infty, 2), (2, 3)\) и \((3, +\infty)\). Теперь рассмотрим каждый интервал отдельно.

В интервале \((-\infty, 2)\), примем любое значение \(x\) меньше 2, например, \(x = 0\). Подставим это значение в исходное неравенство: \(\frac{{0 - 2}}{{3 - 0}} = -\frac{2}{3} < 0\). Таким образом, неравенство не выполняется на данном интервале.

В интервале \((2, 3)\), примем любое значение \(x\) между 2 и 3, например, \(x = 2.5\). Подставим это значение в исходное неравенство: \(\frac{{2.5 - 2}}{{3 - 2.5}} = \frac{1}{2} > 0\). Таким образом, неравенство выполняется на данном интервале.

В интервале \((3, +\infty)\), примем любое значение \(x\) больше 3, например, \(x = 4\). Подставим это значение в исходное неравенство: \(\frac{{4 - 2}}{{3 - 4}} = -2 < 0\). Таким образом, неравенство не выполняется на данном интервале.

Шаг 3: Собираем все результаты вместе. Мы обнаружили, что неравенство выполняется на интервале \((2, 3)\), а на остальных интервалах оно не выполняется. Таким образом, решение неравенства \(\frac{{x - 2}}{{3 - x}} \geq 0\) - это интервал \((2, 3]\).