Каково скалярное произведение данных векторов в ромбе, где короткая диагональ равна

Zinaida

17

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание о скалярном произведении векторов и свойствах ромба.

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) обозначается как \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) и равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

\[\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos \theta\]

где \(|\vec{A}|\) и \(|\vec{B}|\) - длины векторов, а \(\theta\) - угол между ними.

Теперь давайте применим это к задаче с ромбом. Пусть у нас есть ромб ABCD, где длина его короткой диагонали равна \(d\). Проведем две диагонали - AC и BD - которые пересекаются в точке O. Обозначим векторы \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\) и \(\vec{OD}\).

Так как ромб ABCD - это параллелограмм, то \(\vec{AB} = \vec{OC}\) и \(\vec{BC} = \vec{OA}\). Также учитывая, что диагонали AC и BD перпендикулярны, \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\) являются векторами, перпендикулярными друг другу.

Теперь мы можем использовать свойство ортогональности перпендикулярных векторов, которое утверждает, что их скалярное произведение равно нулю:

\(\vec{OA} \cdot \vec{OC} = 0\)

Подставив значения векторов, получаем:

\(\vec{BC} \cdot \vec{AB} = 0\)

\(d \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos \theta = 0\)

Так как \(d\) и \(|\vec{AB}|\) - положительные числа, то уравнение может быть равно только в случае, когда \(\cos \theta = 0\).

Значит, угол \(\theta\) между векторами \(\vec{BC}\) и \(\vec{AB}\) равен 90 градусов.

Таким образом, скалярное произведение данных векторов в ромбе равно нулю, когда короткая диагональ равна \(d\).