Каково скалярное произведение векторов (3а + b) и а, если угол между векторами а и b составляет 120°, а длины векторов

Загадочный_Парень

46

Чтобы найти скалярное произведение векторов \((3a + b)\) и \(a\), нам понадобится знать, как связаны длины векторов \(a\) и \(b\) с углом \(\theta\) между ними. В данном случае, угол между векторами \(a\) и \(b\) составляет 120°. Мы также знаем, что длины векторов \(a\) и \(b\) равны.

Легче всего найти скалярное произведение векторов, если мы представим их в координатной форме. Предположим, что вектор \(a\) имеет координаты \((x_a, y_a)\), и вектор \(b\) имеет координаты \((x_b, y_b)\).

Теперь нам нужно выразить вектор \((3a + b)\) в координатной форме. Учитывая, что \(а\) и \(b\) - это векторы равной длины, мы можем записать:

\((3a + b) = (3x_a, 3y_a) + (x_b, y_b) = (3x_a + x_b, 3y_a + y_b)\).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение векторов \((3a + b)\) и \(a\) можно найти по следующей формуле:

\((3a + b) \cdot a = (3x_a + x_b, 3y_a + y_b) \cdot (x_a, y_a) = (3x_a + x_b) \cdot x_a + (3y_a + y_b) \cdot y_a\).

Теперь давайте решим эту задачу. Выражение общего вида для скалярного произведения векторов \((3a + b)\) и \(a\) преобразуется следующим образом:

\((3a + b) \cdot a = (3x_a + x_b) \cdot x_a + (3y_a + y_b) \cdot y_a\).

Учитывая, что угол между векторами \(a\) и \(b\) составляет 120°, мы можем использовать формулу для нахождения cos 120°:

\(\cos(120°) = \frac{-1}{2}\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\((3a + b) \cdot a = (3x_a + x_b) \cdot x_a + (3y_a + y_b) \cdot y_a = |a| \cdot |3a + b| \cdot \cos(120°) = |a| \cdot |3a + b| \cdot \frac{-1}{2}\).

Так как нам известно, что длины векторов \(a\) и \(b\) равны, можно записать:

\(|a| = |b|\) и \(|3a + b| = |4a|\).

Теперь мы можем продолжить вычисления:

\((3a + b) \cdot a = |a| \cdot |3a + b| \cdot \frac{-1}{2} = |a| \cdot |4a| \cdot \frac{-1}{2} = |a| \cdot |a| \cdot \frac{-1}{2} \cdot 4\).

Так как длины векторов \(a\) и \(b\) равны, мы можем записать \(|a| = |b| = a\), следовательно:

\((3a + b) \cdot a = a \cdot a \cdot \frac{-1}{2} \cdot 4 = a^2 \cdot \frac{-1}{2} \cdot 4 = -2a^2\).

Таким образом, скалярное произведение векторов \((3a + b)\) и \(a\) равно \(-2a^2\).