Каково скалярное произведение векторов (c+2d)*(2c-d), если |c|=3 и |d|=4, и угол между векторами (с,d) равен

Южанка

2

Чтобы найти скалярное произведение векторов \((c+2d)\) и \((2c-d)\), нам потребуется знать значения векторов \(c\) и \(d\), их модули и угол между ними. Дано, что \(|c|=3\), \(|d|=4\), и угол между векторами \((c,d)\) равен 60 градусам.

Для начала, вспомним формулу для скалярного произведения двух векторов:
\((c+2d) \cdot (2c-d) = |c+2d| \cdot |2c-d| \cdot \cos(\theta)\),

где \(|c+2d|\) и \(|2c-d|\) - модули векторов \(c+2d\) и \(2c-d\) соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Зная модули векторов \(c\) и \(d\), можно выразить модули векторов \(c+2d\) и \(2c-d\) следующим образом:

\( |c+2d| = |c| + 2|d| \) - формула для сложения модулей векторов,
\( |2c-d| = 2|c| - |d| \) - формула для вычитания модулей векторов.

Подставим данные значения и продолжим:

\( |c+2d| = |c| + 2|d| = 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11 \),
\( |2c-d| = 2|c| - |d| = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2 \).

Таким образом, мы получили модули векторов \(|c+2d| = 11\) и \(|2c-d| = 2\), которые нужны нам для расчета скалярного произведения.

Теперь, найдем значение угла \(\theta\) в радианах, чтобы воспользоваться тригонометрической функцией \(\cos(\theta)\). Зная, что угол между векторами \((c,d)\) составляет 60 градусов, мы можем перевести его в радианы, используя формулу:
\( \theta_{\text{рад}} = \theta_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180} \).

Подставим значение угла в формулу и продолжим:

\( \theta_{\text{рад}} = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \).

Теперь, мы можем вычислить скалярное произведение, подставив значения в соответствующую формулу:

\((c+2d) \cdot (2c-d) = |c+2d| \cdot |2c-d| \cdot \cos(\theta_{\text{рад}}) = 11 \cdot 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\).

Выполним вычисления:

\(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\),
\(11 \cdot 2 = 22\).

Теперь подставим полученные значения:

\((c+2d) \cdot (2c-d) = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11\).

Таким образом, скалярное произведение векторов \((c+2d)\) и \((2c-d)\) равно 11.