Лабораторно-практическая работа. Тема: Взаимное расположение прямых и плоскостей . Ход работы: 1. Каковы возможные

Georgiy

13

Хорошо, давайте начнем с вашей лабораторно-практической работы на тему "Взаимное расположение прямых и плоскостей".

1. Возможные взаимные расположения прямой и плоскости включают в себя следующие случаи:
- Прямая может лежать в плоскости.
- Прямая может быть параллельна плоскости, но не пересекать ее.
- Прямая может пересекать плоскость в одной точке.
- Прямая может пересекать плоскость в нескольких точках.

Для наглядности давайте нарисуем диаграмму для каждого из этих случаев:

*Диаграмма для прямой, лежащей в плоскости:*
\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (3,3);
\draw[thick, dashed] (0,0) -- (4,1);
\draw[thick, dashed] (3,3) -- (4,1);
\draw[thick, ->] (2,2) -- (2.5,2.5);
\draw (2.6,2.5) node[right] {прямая};
\draw (4,1.2) node[right] {плоскость};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

*Диаграмма для параллельной прямой и плоскости:*
\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (3,3);
\draw[thick, dashed] (0,0) -- (4,1);
\draw[thick, dashed] (3,3) -- (4,1);
\draw[thick, ->] (2,2) -- (2.5,2.5);
\draw (2.6,2.5) node[right] {прямая};
\draw (4,1.2) node[right] {плоскость};
\draw (1.8,0.2) node[right] {параллельные};
\draw (3.5,1.8) node[right] {прямая и плоскость};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

*Диаграмма для пересекающейся прямой и плоскости:*
\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (3,3);
\draw[thick, dashed] (0,0) -- (4,1);
\draw[thick, dashed] (3,3) -- (4,1);
\draw[thick, ->] (2,2) -- (2.5,2.5);
\draw (2.6,2.5) node[right] {прямая};
\draw (4,1.2) node[right] {плоскость};
\draw (1.8,0.2) node[right] {пересекающиеся};
\draw (3,3.2) node[right] {прямая и плоскость};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

2. Теперь рассмотрим возможное взаимное расположение прямых в трехмерном пространстве. В трехмерном пространстве прямые могут находиться в одной из следующих позиций:
- Прямые могут пересекаться и быть не параллельными.
- Прямые могут быть параллельными, но не пересекаться.
- Прямые могут совпадать.

Для наглядности давайте нарисуем диаграмму для каждого из этих случаев:

*Диаграмма для пересекающихся и не параллельных прямых:*
\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0,0) -- (3,3,3);
\draw[thick, dashed] (0,0,0) -- (4,1,1);
\draw[thick, dashed] (3,3,3) -- (4,1,1);
\draw[thick, ->] (2,2,2) -- (2.5,2.5,2.5);
\draw (2.6,2.5,2.5) node[right] {прямые};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

*Диаграмма для параллельных, но не пересекающихся прямых:*
\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0,0) -- (3,3,3);
\draw[thick, dashed] (0,0,1) -- (4,1,4);
\draw[thick, dashed] (3,3,4) -- (4,1,4);
\draw[thick, ->] (2,2,2) -- (2.5,2.5,2.5);
\draw (2.6,2.5,2.5) node[right] {прямые};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

*Диаграмма для совпадающих прямых:*
\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0,0) -- (3,3,3);
\draw[thick, dashed] (0,0,0) -- (4,1,1);
\draw[thick, dashed] (3,3,3) -- (4,1,1);
\draw[thick, ->] (2,2,2) -- (2.5,2.5,2.5);
\draw (2.6,2.5,2.5) node[right] {прямые};
\draw (0,1.2,1) node[right] {совпадающие};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

5. Теперь рассмотрим призму ABCVSD.

а) Чтобы определить взаимное расположение ребер BC и AD, нам нужно рассмотреть их положение. Если мы нарисуем призму ABCVSD, то сможем ясно увидеть эти ребра. Взгляните на диаграмму ниже:

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (3,2) -- (1,2) -- cycle;
\draw[thick] (0,0) -- (1,2);
\draw[thick] (4,0) -- (3,2);
\draw[dashed] (0,0) -- (3,0) -- (2,1.5) -- (1,0);
\draw[dashed] (3,0) -- (2,1.5);
\draw[dashed] (0,0) -- (1,0);
\draw[dashed] (3,0) -- (3,2) -- (2,1.5);
\draw[dashed] (3,2) -- (1,2);
\draw[dashed] (1,0) -- (1,2);
\draw (0.9,2.2) node[right] {A};
\draw (3.1,2.2) node[right] {B};
\draw (4.1,0) node[right] {C};
\draw (-0.4,0) node[left] {D};
\draw (-0.4,-0.2) node[left] {плоскость};
\draw (4.3,0) node[right] {ребро BC};
\draw (1.3,1.2) node[right] {ребро AD};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

Как видно из диаграммы, ребро BC и ребро AD пересекаются в точке D.

б) Для определения плоскостей, в которых лежит прямая VW, мы должны использовать точки, через которые проходит прямая VW. Взгляните на диаграмму ниже:

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (3,2) -- (1,2) -- cycle;
\draw[thick] (0,0) -- (1,2);
\draw[thick] (4,0) -- (3,2);
\draw[dashed] (1.5,1) -- (2.5,1.5);
\draw[dashed] (2.5,1.5) -- (3,0);
\draw[dashed] (1.5,1) -- (3,0);
\draw (1.4,1) node[left] {V};
\draw (2.6,1.6) node[right] {W};
\draw (-0.4,0) node[left] {D};
\draw (-0.4,-0.2) node[left] {плоскость};
\draw (4.1,0) node[right] {плоскость};
\draw (0.5,2.2) node[right] {A};
\draw (3.1,2.2) node[right] {B};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

Как видно из диаграммы, прямая VW лежит в плоскостях, проходящих через точки A, B, D и V, W, D соответственно.

в) Чтобы определить, как располагается прямая AD относительно плоскостей и прямой VW, нужно рассмотреть их положение. На диаграмме ниже показано это расположение:

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (3,2) -- (1,2) -- cycle;
\draw[thick] (0,0) -- (1,2);
\draw[thick] (4,0) -- (3,2);
\draw[dashed] (0,0) -- (3,0) -- (2,1.5) -- (1,0);
\draw[dashed] (3,0) -- (2,1.5);
\draw[dashed] (0,0) -- (1,0);
\draw[dashed] (3,0) -- (3,2) -- (2,1.5);
\draw[dashed] (3,2) -- (1,2);
\draw[dashed] (1,0) -- (1,2);
\draw[dashed] (1.5,1) -- (2.5,1.5);
\draw[dashed] (2.5,1.5) -- (3,0);
\draw[dashed] (1.5,1) -- (3,0);
\draw[thick, ->] (1,0.3) -- (3,0.3);
\draw (2,0.5) node[right] {AD};
\draw[thick, ->] (2.2,1.4) -- (2.2,0.5);
\draw (2.3,1) node[right] {VW};
\draw (-0.4,-0.2) node[left] {плоскости};
\draw (4.3,0) node[right] {ребро BC};
\end{tikzpicture}
\end{equation*}
\]

Как видно из диаграммы, прямая AD пересекает ребро BC, лежит в плоскости, пересекает прямую VW и параллельна плоскости, в которой лежит ребро BC. Взаимное расположение прямой AD и прямой VW может быть скрещивающимся или параллельным в зависимости от их конкретного положения.

6. Теперь рассмотрим пирамиду ABCPV.

а) Чтобы найти пары скрещивающихся прямых, нужно рассмотреть ребра пирамиды. Вот диаграмма для пирамиды ABCPV:

\[
\begin{equation*}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[thick] (0,0) -- (4,0) -- (3,2) -- cycle;
\draw[thick] (0,0) -- (3,0) -- (2,1.5) -- (1,0);
\draw[thick, dashed] (1,0) -- (3,0);
\draw[thick, dashed] (2,1.5) -- (3,0);
\draw[thick, dashed] (2,1.5) -- (1,0