Найдите значение x, при котором наибольший общий делитель (НОД) чисел 160 и x + 14 равен 40, и

Lizonka

26

х обязательно должно быть неотрицательным числом.

Чтобы найти значение x, удовлетворяющее условию задачи, мы можем воспользоваться определением НОД. НОД двух чисел - это наибольшее число, которое делится на оба этих числа без остатка.

В нашем случае, мы ищем такое значение x, что НОД чисел 160 и (x+14) равен 40.

Из этого условия можно составить уравнение: НОД(160, x+14) = 40.

Чтобы найти НОД(160, x+14), нам понадобится разложение каждого числа на простые множители.

160 = 2^5 * 5^1

x + 14 = ? (мы не знаем, как разложить это число на простые множители, но пока это не важно)

Теперь посмотрим на разложение числа 40 на простые множители:

40 = 2^3 * 5^1

Так как наше условие гласит, что НОД(160, x+14) = 40, то нам нужно найти, какие простые множители есть в НОД(160, x+14).

Мы знаем, что в НОД(160, x+14) не может быть простых множителей, которых нет ни в 160, ни в (x+14).

В разложении числа 40 есть только два простых множителя: 2 и 5.

Поскольку разложение числа 160 содержит простые множители 2 и 5 в большей степени, чем разложение числа 40, то и НОД(160, x+14) должен содержать эти множители в той же самой степени.

Таким образом, разложение НОД(160, x+14) должно выглядеть так: НОД(160, x+14) = 2^3 * 5^1.

Теперь вспомним разложение числа (x+14):

x + 14 = 2^a * 5^b * другие простые множители

Где a и b - это степени простых множителей 2 и 5 в разложении числа (x+14).

Мы знаем, что НОД(160, x+14) = 2^3 * 5^1, а по условию мы ищем такое значение x, при котором это равенство выполняется.

Значит, должны выполняться следующие условия:

2^3 * 5^1 = 2^a * 5^b

3 = a
1 = b

Таким образом, мы получаем, что a = 3, а b = 1.

Из уравнения разложения числа (x+14):

x + 14 = 2^a * 5^b

Мы уже знаем, что a = 3 и b = 1.

Подставляя значения получаем:

x + 14 = 2^3 * 5^1

x + 14 = 8 * 5

x + 14 = 40

Вычитаем 14 из обеих частей уравнения, чтобы найти значение x:

x = 40 - 14

x = 26

Таким образом, значение x, при котором НОД чисел 160 и x + 14 равен 40, и x должно быть неотрицательным, составляет 26.