Каково скалярное произведение векторов DC-→ и AD-→ в данном ромбе со стороной длиной 48 см? Каково скалярное

Солнечный_Бриз

2

Скалярное произведение векторов DC-→ и AD-→ в данном ромбе с длиной стороны 48 см можно найти, используя следующую формулу:

\[ \text{Скалярное произведение} = |DC-→| \cdot |AD-→| \cdot \cos(\theta) \],

где |DC-→| и |AD-→| - длины векторов DC-→ и AD-→ соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

В ромбе все стороны одинаковы, поэтому длина каждой стороны составляет 48 см.

Чтобы найти длину вектора DC-→, мы можем использовать теорему Пифагора на треугольнике DBC:

\[ |DC-→|^2 = |DB-→|^2 + |BC-→|^2 \].

Так как ромб - это параллелограмм, его диагонали делятся пополам. Поэтому длина вектора DB-→ (и AD-→) равна половине длины диагонали ромба, то есть \( \frac{1}{2} \times 48 = 24 \) см.

Далее, мы можем использовать теорему косинусов на треугольнике DBC, чтобы найти угол \(\theta\) между векторами DC-→ и AD-→. Так как стороны треугольника DBC известны (\( |DC-→| = 48 \) см, \( |DB-→| = 24 \) см, \( |BC-→| = 48 \) см), мы можем использовать следующую формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{|DB-→|^2 + |BC-→|^2 - |DC-→|^2}{2 \cdot |DB-→| \cdot |BC-→|} \].

Подставляя известные значения, получим:

\[ \cos(\theta) = \frac{24^2 + 48^2 - 48^2}{2 \cdot 24 \cdot 48} = \frac{576 + 2304 - 2304}{2 \cdot 24 \cdot 48} = \frac{576}{2 \cdot 24 \cdot 48} = \frac{576}{2304} = \frac{1}{4} \].

Теперь мы можем рассчитать скалярное произведение векторов DC-→ и AD-→:

\[ \text{Скалярное произведение} = |DC-→| \cdot |AD-→| \cdot \cos(\theta) = 48 \cdot 24 \cdot \frac{1}{4} = 12 \cdot 24 = 288 \].

Ответ: скалярное произведение векторов DC-→ и AD-→ в данном ромбе равно 288.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов OC-→ и OD-→. Так как ромб - это параллелограмм, его диагонали делятся пополам. Поэтому вектор OC-→ (и OD-→) равен половине диагонали ромба, то есть \( \frac{1}{2} \times 48 = 24 \) см.

Скалярное произведение векторов OC-→ и OD-→ можно найти, используя ту же формулу:

\[ \text{Скалярное произведение} = |OC-→| \cdot |OD-→| \cdot \cos(\theta) \],

где |OC-→| и |OD-→| - длины векторов OC-→ и OD-→ соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Длины векторов OC-→ и OD-→ равны 24 см, так как они являются половинами диагонали ромба.

Угол между векторами OC-→ и OD-→ равен 180 градусам, так как эти векторы являются противоположными.

\[ \text{Скалярное произведение} = |OC-→| \cdot |OD-→| \cdot \cos(\theta) = 24 \cdot 24 \cdot \cos(180^\circ) = 24 \cdot 24 \cdot (-1) = -576 \].

Ответ: скалярное произведение векторов OC-→ и OD-→ в данном ромбе равно -576.