Каково скалярное произведение векторов m=2a+b и n=3а-2b, если векторы а и b образуют угол 45 градусов и |a|=2 корень

Laki

19

Хорошо, давайте посчитаем скалярное произведение векторов \(m = 2a + b\) и \(n = 3a - 2b\) в вашей задаче.

Для начала, давайте найдем значения векторов \(a\) и \(b\):

Вектор \(a\) имеет длину \(|a| = 2\sqrt{2}\), которую вы указали в задаче.

Вектор \(b\) имеет значение \(b = 3\).

Далее, у нас есть формула для скалярного произведения двух векторов:

\[
m \cdot n = |m| \cdot |n| \cdot \cos\theta
\]

где \(|m|\) - длина вектора \(m\), \(|n|\) - длина вектора \(n\), а \(\theta\) - угол между векторами.

Рассчитаем длины векторов \(m\) и \(n\):

\[
|m| = |2a + b| = \sqrt{(2a + b) \cdot (2a + b)}
\]

\[
|n| = |3a - 2b| = \sqrt{(3a - 2b) \cdot (3a - 2b)}
\]

Теперь, найдем значения в скобках и продолжим вычисления.

\[
(2a + b) \cdot (2a + b) = (2a \cdot 2a) + (2a \cdot b) + (b \cdot 2a) + (b \cdot b)
\]

\[
(3a - 2b) \cdot (3a - 2b) = (3a \cdot 3a) + (3a \cdot (-2b)) + ((-2b) \cdot 3a) + ((-2b) \cdot (-2b))
\]

После раскрытия скобок, получим:

\[
|m| = \sqrt{4a \cdot a + 2ab + 2ab + b \cdot b} = \sqrt{4a^2 + 4ab + b^2}
\]

\[
|n| = \sqrt{9a \cdot a - 6ab + 6ab + 4b \cdot b} = \sqrt{9a^2 + 4b^2}
\]

Теперь давайте найдем значение скалярного произведения:

\[
m \cdot n = |m| \cdot |n| \cdot \cos\theta
\]

Ранее было сказано, что угол между векторами \(a\) и \(b\) составляет 45 градусов. Так как значения \(|a|\) и \(|b|\) известны, мы можем рассчитать \(|m|\), \(|n|\), и \(\cos\theta\).

\[
|m| = \sqrt{4a^2 + 4ab + b^2} = \sqrt{4(2\sqrt{2})^2 + 4(2\sqrt{2})(3) + 3^2} = \sqrt{32 + 24\sqrt{2} + 9} = \sqrt{41 + 24\sqrt{2}}
\]

\[
|n| = \sqrt{9a^2 + 4b^2} = \sqrt{9(2\sqrt{2})^2 + 4(3)^2} = \sqrt{36 + 72} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
\]

\[
\cos\theta = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Теперь можем рассчитать скалярное произведение:

\[
m \cdot n = |m| \cdot |n| \cdot \cos\theta = (\sqrt{41 + 24\sqrt{2}}) \cdot (6\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{246 + 144\sqrt{2}}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(m\) и \(n\) равно \(3\sqrt{246 + 144\sqrt{2}}\).