Каково соотношение объемов конуса и шара, если диаметр шара равен высоте конуса, а образующая конуса образует угол

Ветерок

7

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

По условию, у нас есть конус и шар. Диаметр шара равен высоте конуса, а образующая конуса образует угол 30 градусов с плоскостью основания.

Шаг 1: Определение формул для объема конуса и шара.

Объем конуса можно рассчитать по формуле:
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h,\]
где \(V_{конуса}\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, равная примерно 3.14159, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Объем шара можно рассчитать по формуле:
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3,\]
где \(V_{шара}\) - объем шара, \(\pi\) - математическая константа, \(r\) - радиус шара.

Шаг 2: Определение радиуса шара и конуса.

Так как диаметр шара равен высоте конуса, то радиус шара будет половиной высоты конуса. Обозначим радиус шара как \(r_{шара}\) и радиус конуса как \(r_{конуса}\). Таким образом, радиус шара равен половине высоты конуса:
\[r_{шара} = \frac{h}{2}\]
а радиус конуса равен радиусу основания, то есть радиусу шара:
\[r_{конуса} = r_{шара}\]

Шаг 3: Определение высоты конуса.

Так как образующая конуса образует угол 30 градусов с плоскостью основания, то у нас имеется прямоугольный треугольник с углом 30 градусов и гипотенузой, равной образующей конуса. Если обозначить образующую как \(l_{конуса}\), то по теореме синусов, мы можем найти высоту конуса \(h\):
\[\sin(30^\circ) = \frac{h}{l_{конуса}}\]
\[\frac{1}{2} = \frac{h}{l_{конуса}}\]
\[h = \frac{l_{конуса}}{2}\]

Шаг 4: Выражение объемов конуса и шара через радиусы и высоту.

Используя данные из шагов 2 и 3, мы можем записать формулы для объемов конуса и шара, используя соответствующие радиусы и высоту:
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r_{конуса}^2 h\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h\]
\[V_{конуса} = \frac{1}{12} \pi h^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r_{шара}^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^3\]
\[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi \frac{h^3}{8}\]

Шаг 5: Соотношение объемов конуса и шара.

Теперь, зная формулы для объемов конуса и шара, мы можем выразить соотношение между ними:
\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{12} \pi h^3}{\frac{4}{3} \pi \frac{h^3}{8}}\]

Далее произведите расчеты и упростите полученное выражение, заметьте, что множитель \(\pi\) сократится:
\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{\frac{1}{12} h^3}{\frac{4}{3} \frac{h^3}{8}}\]
\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{4}\]
\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{1}{12} \cdot 2\]
\[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{1}{6}\]

Таким образом, соотношение объемов конуса и шара равно \(\frac{1}{6}\).