Каково тангенциальное и полное ускорение точек на окружности диска в момент времени 4 секунды, если диск радиусом

Zvonkiy_Spasatel

20

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, найдем значения угловой скорости и углового ускорения для момента времени \(t = 4\) секунды, используя данное уравнение для угла \(\varphi\):

\[
\varphi = A + Bt + Ct^3
\]

Подставим значения коэффициентов:

\[
\varphi = 1 - 2 \cdot 4 + 0.3 \cdot 4^3
\]

Вычислим это выражение:

\[
\varphi = 1 - 8 + 1.92
\]

\[
\varphi = -5.08 \text{ рад}
\]

Теперь мы можем найти угловую скорость \(\omega\) и угловое ускорение \(\alpha\) для данного момента времени. Угловая скорость - это производная угла по времени, а угловое ускорение - это производная угловой скорости по времени:

\[
\omega = \frac{{d\varphi}}{{dt}}, \quad \alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}}
\]

Возьмем производную от уравнения для \(\varphi\):

\[
\omega = \frac{{d\varphi}}{{dt}} = B + 3Ct^2
\]

Подставив значения \(B = -2\) и \(C = 0.3\), найдем угловую скорость:

\[
\omega = -2 + 3 \cdot 0.3 \cdot 4^2
\]

\[
\omega = -2 + 3 \cdot 0.3 \cdot 16
\]

\[
\omega = -2 + 14.4
\]

\[
\omega = 12.4 \text{ рад/с}
\]

Теперь найдем угловое ускорение:

\[
\alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}} = 6Ct
\]

Подставим значение \(C = 0.3\) и \(t = 4\) секунды:

\[
\alpha = 6 \cdot 0.3 \cdot 4
\]

\[
\alpha = 0.72 \text{ рад/с}^2
\]

Теперь рассмотрим векторы скоростей и ускорений для указанного момента времени. Так как диск вращается в горизонтальной плоскости, то скорости и ускорения будут лежать на окружности с радиусом 0.5 метра.

Вектор скорости - это вектор, направление которого совпадает с направлением касательной к окружности в данной точке. Мы уже нашли угловую скорость \(\omega\), которая является модулем этого вектора скорости. Теперь нам нужно указать направление этого вектора. В данном случае, он будет направлен против часовой стрелки.

Вектор ускорения - это вектор, направление которого совпадает с направлением вектора изменения скорости. В нашем случае, он будет перпендикулярен вектору скорости и будет направлен к центру окружности.

Таким образом, вектор ускорения будет направлен внутрь окружности, вдоль радиуса. Его модуль можно найти, используя формулу:

\[
a_t = r\alpha
\]

где \(r\) - радиус окружности, а \(\alpha\) - угловое ускорение. Подставим значения:

\[
a_t = 0.5 \cdot 0.72
\]

\[
a_t = 0.36 \text{ м/с}^2
\]

Таким образом, тангенциальное ускорение равно \(0.36\) м/с\(^2\), а полное ускорение - это векторная сумма тангенциального ускорения и ускорения, направленного к центру окружности (центростремительного ускорения). Теперь мы можем найти полное ускорение, используя теорему Пифагора:

\[
a = \sqrt{{a_t^2 + a_c^2}}
\]

где \(a_c\) - центростремительное ускорение. Подставим значения:

\[
a = \sqrt{{0.36^2 + 12.4^2}}
\]

\[
a = \sqrt{{0.1296 + 153.76}}
\]

\[
a \approx 12.401 \text{ м/с}^2
\]

Таким образом, полное ускорение точек на окружности диска в момент времени 4 секунды составляет примерно \(12.401\) м/с\(^2\).

Чтобы изобразить векторы скоростей и ускорений, нарисуем диаграмму:

\[
\begin{array}{c}
\text{--->} \\
\text{Скорость} \\
\text{--->} \\
\end{array}
\]

Вектор скорости будет направлен против часовой стрелки и его длина будет равна 12.4 рад/с.

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
\text{Uskom} \\
\downarrow \\
\end{array} \\
\text{--->} \\
\text{Ускорение} \\
\end{array}
\]

Вектор ускорения будет направлен внутрь окружности, вдоль радиуса, и его длина будет равна 0.36 м/с\(^2\). Также, учтите, что векторы скоростей и ускорений должны быть нарисованы на масштабе, чтобы соответствовать значениям, которые мы нашли.

Надеюсь, это помогло вам понять данную задачу!