Каково уравнение движения бусинки по гладкой проволоке, учитывая, что форма проволоки описывается уравнениями z=2-x³

Скрытый_Тигр

46

Хорошо! Чтобы найти уравнение движения бусинки по данной гладкой проволоке, мы будем использовать уравнение лагранжа 2-го рода. Уравнение лагранжа позволяет нам описать движение системы, учитывая её потенциальную и кинетическую энергию.

В данной задаче нам даны уравнения формы проволоки: \(z = 2 - x^3\) и \(y = 0\). Мы можем рассматривать бусинку, как точку, движущуюся по проволоке.

Для начала, нам необходимо определить лагранжиан системы. Лагранжиан (L) представляет собой разность кинетической (T) и потенциальной (V) энергий:
\[L = T - V\]

В этой задаче, так как мы рассматриваем только силу тяжести, потенциальная энергия будет определяться величиной потенциальной энергии высоты (U):
\[V = U(z) = m \cdot g \cdot z\]

Кинетическая энергия (T) будет функцией скорости (v) бусинки. Так как мы рассматриваем только движение вдоль проволоки, то скорость по осям y и z будет равна нулю. Поэтому кинетическая энергия будет определяться скоростью по оси x:
\[T = \frac{1}{2} m v^2\]

Теперь мы можем записать лагранжиан:
\[L(x, \dot{x}) = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - m g (2 - x^3)\]

Где \(m\) - масса бусинки, \(g\) - ускорение свободного падения, \(\dot{x}\) - производная по времени от координаты \(x\).

Далее необходимо найти уравнение Эйлера-Лагранжа по этому лагранжиану:
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0\]

Подставив значения и рассчитав производные, получим:
\[\frac{d}{dt}(m \dot{x}) + 3 m g x^2 = 0\]

Дифференцируя левую часть по времени и раскрывая скобки, получим:
\[m \ddot{x} + 3 m g x^2 = 0\]

Таким образом, уравнение движения бусинки по гладкой проволоке с учетом силы тяжести можно записать следующим образом:
\[m \ddot{x} + 3 m g x^2 = 0\]

Это уравнение позволяет определить движение бусинки по проволоке при заданных условиях.