Каково уравнение движения тела, описывающее движение вдоль прямой? Найти путь, среднюю скорость и среднее ускорение

Сквозь_Волны

53

Для того чтобы найти уравнение движения тела, описывающее его движение вдоль прямой, мы можем использовать следующую формулу:

\[x(t) = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]

где:
- \(x(t)\) - путь, пройденный телом к моменту времени \(t\);
- \(x_0\) - начальное положение тела;
- \(v_0\) - начальная скорость тела;
- \(a\) - постоянное ускорение тела;
- \(t\) - время.

Теперь, чтобы найти путь, среднюю скорость и среднее ускорение тела на интервале времени от \(t_1\) до \(t_2\), мы будем использовать следующие формулы:

Путь:
\[ \Delta x = x(t_2) - x(t_1) \]

Средняя скорость:
\[ \overline{v} = \frac{\Delta x}{t_2 - t_1} \]

Среднее ускорение:
\[ \overline{a} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} \]

Также, чтобы найти скорости и ускорения (кроме заданных), нам потребуются следующие формулы:

Скорость в момент времени \(t\):
\[ v(t) = v_0 + a \cdot t \]

Ускорение в момент времени \(t\):
\[ a(t) = a \]

Теперь вычислим все значения на основе данных, которые нам заданы:

Шаг 1: Вычисляем путь:
\[ \Delta x = x(t_2) - x(t_1) \]

Заменяем значения:

\[ \Delta x = (x_0 + v_0 \cdot t_2 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_2^2) - (x_0 + v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_1^2) \]

Сокращаем и обобщаем:

\[ \Delta x = v_0 \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2^2 - t_1^2) \]

Шаг 2: Вычисляем среднюю скорость:
\[ \overline{v} = \frac{\Delta x}{t_2 - t_1} \]

Подставляем выражение для \(\Delta x\):

\[ \overline{v} = \frac{v_0 \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2^2 - t_1^2)}{t_2 - t_1} \]

Сокращаем:

\[ \overline{v} = v_0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2 + t_1) \]

Шаг 3: Вычисляем среднее ускорение:
\[ \overline{a} = \frac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1} \]

Подставляем значения:

\[ \overline{a} = \frac{(v_0 + a \cdot t_2) - (v_0 + a \cdot t_1)}{t_2 - t_1} \]

Сокращаем:

\[ \overline{a} = \frac{a \cdot (t_2 - t_1)}{t_2 - t_1} = a \]

Таким образом, получаем следующие результаты:

Путь:
\[ \Delta x = v_0 \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2^2 - t_1^2) \]

Средняя скорость:
\[ \overline{v} = v_0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2 + t_1) \]

Среднее ускорение:
\[ \overline{a} = a \]

Скорость в момент времени \(t\):
\[ v(t) = v_0 + a \cdot t \]

Ускорение в момент времени \(t\):
\[ a(t) = a \]

Подставим значения, которые нам даны:
\[ t_1 = 0.7 \]
\[ t_2 = 8.0 \]
\[ a = 2 \]
\[ v_0 = 0.8 \]
\[ v_1 = v(t_1) = v_0 + a \cdot t_1 \]
\[ v_2 = v(t_2) = v_0 + a \cdot t_2 \]

Подставляем значения и вычисляем:

1. Путь:
\[ \Delta x = v_0 \cdot (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2^2 - t_1^2) \]
\[ \Delta x = 0.8 \cdot (8.0 - 0.7) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (8.0^2 - 0.7^2) \]
\[ \Delta x = 6.1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (64 - 0.49) \]
\[ \Delta x = 6.1 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 63.51 \]
\[ \Delta x \approx 6.1 + 63.51 \approx 69.61 \]

2. Средняя скорость:
\[ \overline{v} = v_0 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot (t_2 + t_1) \]
\[ \overline{v} = 0.8 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (8.0 + 0.7) \]
\[ \overline{v} = 0.8 + 1 \cdot 8.7 \]
\[ \overline{v} \approx 0.8 + 8.7 \approx 9.5 \]

3. Среднее ускорение:
\[ \overline{a} = a \]
\[ \overline{a} = 2 \]

Таким образом, получаем следующие значения:

- Путь: \(\Delta x \approx 69.61\)
- Средняя скорость: \(\overline{v} \approx 9.5\)
- Среднее ускорение: \(\overline{a} = 2\)
- Скорость в момент времени \(t_1\): \(v_1 = v(t_1) = 0.8 + 2 \cdot 0.7 = 2.2\)
- Скорость в момент времени \(t_2\): \(v_2 = v(t_2) = 0.8 + 2 \cdot 8.0 = 16.8\)

Обратите внимание, что скорости и ускорения являются частными случаями уравнения движения, при которых время равно нулю или постоянно. В данной задаче среднее ускорение и скорость заданы, поэтому нам не требуется их вычислять.

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать! Я всегда готов помочь.