Каково уравнение множества точек, находящихся на расстоянии 4 единиц от прямой с уравнением 4x-3y=0, и дайте

Pechenka

39

Чтобы найти уравнение множества точек, находящихся на расстоянии 4 единиц от прямой с уравнением \(4x-3y=0\), нам понадобятся знания о перпендикулярных прямых и формуле для расстояния от точки до прямой.

Для начала, мы знаем, что любая точка нашего искомого множества будет располагаться на одинаковом расстоянии от данной прямой. Мы также знаем, что расстояние от точки до прямой можно рассчитать по следующей формуле:

\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

где \(A\), \(B\) и \(C\) - коэффициенты уравнения прямой, а \(x\) и \(y\) - координаты точки.

Перейдем к нахождению уравнения множества точек, находящихся на расстоянии 4 единиц от данной прямой:

1. Начнем с определения уравнения прямой в виде \(Ax + By + C = 0\). В данном случае у нас \(A = 4\), \(B = -3\) и \(C = 0\).

2. Теперь рассмотрим точку \((x_0, y_0)\), которая находится на расстоянии 4 единиц от данной прямой. Используя формулу расстояния, мы можем записать следующее:

\[4 = \frac{{|4x_0 - 3y_0|}}{{\sqrt{{4^2 + (-3)^2}}}}\]

3. Упростим данное уравнение:

\[16 = |4x_0 - 3y_0|\]

4. Чтобы избавиться от модуля, рассмотрим два случая:

4.1. В случае, когда \(4x_0 - 3y_0 \geq 0\), уравнение станет:

\[16 = 4x_0 - 3y_0\]

4.2. В случае, когда \(4x_0 - 3y_0 < 0\), уравнение станет:

\[16 = - (4x_0 - 3y_0)\]

5. Далее мы можем преобразовать уравнения, чтобы получить уравнение вида \(y = f(x)\), чтобы понять, какие значения \(x\) и \(y\) соответствуют точкам, находящимся на расстоянии 4 единиц от прямой.

6. Выразим \(y\) из уравнения в случае \(4x_0 - 3y_0 \geq 0\):

\[16 = 4x_0 - 3y_0\]

\[3y_0 = 4x_0 - 16\]

\[y_0 = \frac{{4x_0 - 16}}{{3}}\]

7. Теперь выразим \(y\) из уравнения в случае \(4x_0 - 3y_0 < 0\):

\[16 = - (4x_0 - 3y_0)\]

\[16 = -4x_0 + 3y_0\]

\[3y_0 = 4x_0 + 16\]

\[y_0 = \frac{{4x_0 + 16}}{{3}}\]

Таким образом, у нас получилось два выражения для \(y_0\), которые представляют уравнения множества точек, находящихся на расстоянии 4 единиц от прямой с уравнением \(4x-3y=0\):

\[y_0 = \frac{{4x_0 - 16}}{{3}}\]

\[y_0 = \frac{{4x_0 + 16}}{{3}}\]

Эти уравнения позволяют нам находить координаты точек, которые находятся на расстоянии 4 единиц от данной прямой. Конкретные значения \(x_0\) могут быть выбраны произвольно, и для каждого значения \(x_0\) мы получим соответствующие значения \(y_0\). Это будет множество точек, удовлетворяющих условию задачи.