Каково уравнение окружности, проходящей через точки m (2; 0) и n (-4; 8), если отрезок mn является её диаметром?

Алина

30

Для начала нам необходимо найти середину отрезка \( \overline{mn} \), которая будет являться центром окружности, а затем найти радиус.

1. Найдём середину отрезка \( \overline{mn} \):
Координаты середины отрезка \( \overline{mn} \) будут средним арифметическим координат точек \( m \) и \( n \).
\( x_c = \frac{x_m + x_n}{2} \)
\( y_c = \frac{y_m + y_n}{2} \)

В нашем случае:
\( x_c = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
\( y_c = \frac{0 + 8}{2} = 4 \)

Итак, координаты центра окружности равны \( (-1; 4) \).

2. Теперь найдем радиус окружности, который равен половине длины диаметра:
Радиус \( r \) можно найти по формуле расстояния между точками \( m \) и \( n \):
\( r = \sqrt{(x_n - x_m)^2 + (y_n - y_m)^2} \)

В нашем случае:
\( r = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)

3. Таким образом, уравнение окружности имеет вид:
\[ (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = r^2 \]
\[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 10^2 \]
\[ (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 100 \]

Ответ: Уравнение окружности, проходящей через точки \( m(2; 0) \) и \( n(-4; 8) \), если отрезок \( mn \) является её диаметром, равно \( (x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 100 \).