Каково ускорение центра масс цилиндра и сила трения, когда сплошной цилиндр радиусом r и массой m скатывается

Yasli

62

Для решения этой задачи, давайте разделим ее на две части: вычисление ускорения центра масс цилиндра и вычисление силы трения.

1. Вычисление ускорения центра масс цилиндра:
Ускорение центра масс объекта, скатывающегося с наклонной плоскости, можно найти с помощью второго закона Ньютона. Для начала определим, какие силы действуют на цилиндр. Это сила тяжести и сила трения. Давайте предположим, что отсутствует воздушное сопротивление.

Сила тяжести, \(F_т\), направлена вниз и равна произведению массы цилиндра, \(m\), на ускорение свободного падения, \(g\):
\[F_т = m \cdot g\]

Сила трения, \(F_тр\), направлена вверх по наклонной плоскости и противоположна движению цилиндра. Ее можно найти, используя коэффициент трения, \(μ\), между поверхностью и цилиндром, и нормальную силу, \(N\):
\[F_тр = μ \cdot N\]

Из нормальной силы мы можем определить составляющую силы тяжести, направленную вдоль плоскости:
\[N = m \cdot g \cdot \cos{α}\]

Таким образом, сила трения:
\[F_тр = μ \cdot m \cdot g \cdot \cos{α}\]

Используя второй закон Ньютона \(F_рез = m \cdot a\), где \(F_рез\) - результирующая сила, \(m\) - масса цилиндра и \(a\) - ускорение, мы можем составить уравнение для ускорения:
\[m \cdot a = m \cdot g - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos{α}\]

Далее, проведем несколько преобразований:
\[a = g - μ \cdot g \cdot \cos{α}\]
\[a = g(1 - μ \cdot \cos{α})\]

2. Вычисление силы трения:
Уже зная силу трения, направленную по наклонной плоскости, мы можем вычислить ее величину, зная коэффициент трения, \(μ\), и нормальную силу, \(N\):
\[F_тр = μ \cdot N\]

Мы уже выразили нормальную силу, \(N\), как \(m \cdot g \cdot \cos{α}\), поэтому можем подставить это значение в уравнение для силы трения:
\[F_тр = μ \cdot m \cdot g \cdot \cos{α}\]

Подставив конкретные значения в формулы, получим ответы:
Ускорение:
\[a = g(1 - μ \cdot \cos{α}) = g(1 - \frac{2}{3} \cdot \cos{α}) = \frac{2}{3} \cdot g \cdot \sin{α}\]
Сила трения:
\[F_тр = μ \cdot m \cdot g \cdot \cos{α} = \frac{1}{3} \cdot m \cdot g \cdot \sin{α}\]

Таким образом, ускорение центра масс цилиндра равно \(\frac{2}{3} \cdot g \cdot \sin{α}\), а сила трения равна \(\frac{1}{3} \cdot m \cdot g \cdot \sin{α}\).