Каково ускорение груза, когда на невесомом и нерастяжимом канате, проходящем через три невесомых блока (рис

Lunnyy_Svet

23

Для решения данной задачи, нам понадобится применить второй закон Ньютона и уравнение равновесия. Давайте рассмотрим решение поэтапно.

Шаг 1: Сначала найдем силы, действующие на каждый груз. На груз m1 действуют сила тяжести \(F_{m1}\), направленная вниз, сила натяжения верхнего каната \(T_1\), направленная вверх, и сила натяжения нижнего каната \(T_2\), направленная вниз. На груз m2 действуют сила тяжести \(F_{m2}\), направленная вниз, и сила натяжения верхнего и нижнего канатов, которые обозначим как \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. На груз m3 действует только сила тяжести \(F_{m3}\), направленная вниз.

Шаг 2: Затем применим уравнение равновесия для каждого груза. Для груза m1:
\[F_{m1} - T_1 + T_2 = m_1 \cdot a\]
Где \(m_1\) - масса груза m1, \(a\) - ускорение груза m1.

Для груза m2:
\[F_{m2} - T_1 - T_2 = m_2 \cdot a\]
Где \(m_2\) - масса груза m2, \(a\) - ускорение груза m2.

Для груза m3:
\[F_{m3} + T_1 - T_2 = m_3 \cdot a\]
Где \(m_3\) - масса груза m3, \(a\) - ускорение груза m3.

Шаг 3: Так как канаты невесомые и нерастяжимые, сумма сил натяжения в каждом блоке равна нулю. То есть \(T_1 = T_2\). Это позволяет упростить уравнения.

Шаг 4: Подставим \(T_1 = T_2\) в уравнения равновесия для каждого груза и решим систему уравнений относительно ускорения \(a\).
\[F_{m1} - T_1 + T_2 = m_1 \cdot a\]
\[F_{m2} - T_1 - T_2 = m_2 \cdot a\]
\[F_{m3} + T_1 - T_2 = m_3 \cdot a\]

Шаг 5: Решим систему уравнений. Подставим \(T_1 = T_2\) в первое и третье уравнение, и подставим известные значения \(m_1 = \frac{1}{6}m\) и \(m_3 = 5m\), где \(m\) - масса груза.

Получим:
\[F_{m1} = \frac{1}{6}m \cdot a\]
\[F_{m2} - 2T_1 = m_2 \cdot a\]
\[F_{m3} = 5m \cdot a\]

Заметим, что сила тяжести выражается как \(F_{m1} = m \cdot g\), где \(g\) - ускорение свободного падения.

Подставим обратно в систему уравнений:
\[m \cdot g = \frac{1}{6}m \cdot a\]
\[F_{m2} - 2T_1 = m_2 \cdot a\]
\[5m \cdot g = 5m \cdot a\]

Шаг 6: Упростим систему, сократив \(m\) с \(m\) и применив \(g = 9,8 \, м/с^2\) - примерное значение ускорения свободного падения на Земле.

Получим:
\[g = \frac{1}{6}a\]
\[F_{m2} - 2T_1 = a \cdot m_2\]
\[5g = a\]

Шаг 7: Заметим, что \(g\) можно выразить через \(a\) с помощью \(g = \frac{1}{6}a\). Подставим это в третье уравнение и решим получившуюся систему:

\[\frac{1}{6}a = \frac{1}{6}a\]
\[F_{m2} - 2T_1 = a \cdot m_2\]
\[5 \cdot \frac{1}{6}a = a\]

Ответ: Ускорение груза равно \(a = 5 \, м/с^2\).

Это подробное решение задачи, где каждый шаг обоснован и объяснен для лучшего понимания школьником.