Каково ускорение мотоциклиста в момент времени t=3, если его скорость изменяется по закону v=-t^3+3t^2+9t+3?

Milana_6259

57

Для решения данной задачи нам потребуется найти производную функции скорости \( v \) по времени \( t \). Производная функции скорости в данном случае будет представлять ускорение мотоциклиста. Давайте найдем эту производную.

\[
v = -t^3 + 3t^2 + 9t + 3
\]

Для нахождения производной будем применять правила дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций, производная произведения функций равна произведению первой функции на производную второй функции и т.д. Найдем производные каждого слагаемого:

\[
\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(-t^3) + \frac{{d}}{{dt}}(3t^2) + \frac{{d}}{{dt}}(9t) + \frac{{d}}{{dt}}(3)
\]

По правилу степенной производной, производная слагаемых \( -t^3 \) и \( 3t^2 \) равны:

\[
\frac{{d}}{{dt}}(-t^3) = -3t^2, \quad \frac{{d}}{{dt}}(3t^2) = 6t
\]

Также по правилу линейности производной, производные слагаемых \( 9t \) и \( 3 \) равны:

\[
\frac{{d}}{{dt}}(9t) = 9, \quad \frac{{d}}{{dt}}(3) = 0
\]

Теперь найдем сумму этих производных:

\[
\frac{{dv}}{{dt}} = -3t^2 + 6t + 9 + 0 = -3t^2 + 6t + 9
\]

Это и является выражение для ускорения \( a \) мотоциклиста в момент времени \( t \). Для нахождения значения ускорения в момент времени \( t = 3 \), заменим \( t \) на 3:

\[
a = -3(3)^2 + 6(3) + 9 = -27 + 18 + 9 = 0
\]

Таким образом, ускорение мотоциклиста в момент времени \( t = 3 \) равно 0.