Каково ускорение свободного падения g на поверхности данной планеты, если ее средняя плотность составляет 4000 кг/м3

Дмитриевич

8

Для решения данной задачи мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:

\[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

где:
F - сила притяжения между телами,
G - постоянная гравитации,
M - масса планеты,
m - масса падающего тела,
r - расстояние между телами.

В данном случае падающим телом является масса 1 кг, поэтому масса m = 1 кг.

Мы также можем выразить массу M в зависимости от плотности планеты и её радиуса. Масса M равна произведению плотности планеты и объема планеты:

\[M = p \cdot V\]

В данном случае планета имеет форму сферы, поэтому для вычисления объема мы используем формулу для объема сферы:

\[V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\]

Подставляя значение V в выражение для M, получаем:

\[M = p \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\right)\]

Теперь мы можем выразить силу притяжения F:

\[F = \frac{{G \cdot p \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\right)}}{{r^2}}\]

Поскольку ускорение свободного падения g определяется силой F и массой падающего тела m по формуле:

\[F = m \cdot g\]

Соответственно, мы можем выразить ускорение свободного падения g:

\[g = \frac{{F}}{{m}}\]

Подставим значение F из предыдущего выражения:

\[g = \frac{{G \cdot p \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\right)}}{{r^2 \cdot m}}\]

Теперь нам нужно подставить числовые значения из условия задачи. Постоянная гравитации G равна 6,67⋅10−11 Н⋅м2/кг2, плотность планеты p равна 4000 кг/м3, средний радиус r равен 5000 км (или 5⋅10^6 м), а масса падающего тела m равна 1 кг.

\[g = \frac{{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot 4000 \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (5 \cdot 10^6)^3\right)}}{{(5 \cdot 10^6)^2 \cdot 1}}\]

Вычислим значение ускорения свободного падения g на нашем калькуляторе:

\[g \approx 8,1 \, \text{м/с}^2\]

Округлив до десятых, получаем ответ: ускорение свободного падения g на поверхности данной планеты составляет примерно 8,1 м/с^2.