Каково ускорение точки и каков угол между векторами скорости и ускорения в момент времени t = 1c при движении

Екатерина

34

Для того чтобы найти ускорение точки и угол между векторами скорости и ускорения в момент времени \( t = 1 \) c, мы должны произвести дифференцирование и использовать формулы из курса математического анализа и векторной геометрии.

Ускорение точки представляет собой вторую производную положения точки по времени. Начнем с нахождения вектора скорости точки, который будет являться первой производной вектора положения. В нашем случае координаты точки заданы функциями \( x(t) = t(1-t) \) и \( y(t) = t(1+2t) \).

Производная функции \( x(t) \) по времени дает нам \( \frac{dx}{dt} = (1-2t) \), а производная функции \( y(t) \) по времени равна \( \frac{dy}{dt} = (1+4t) \). Таким образом, вектор скорости \( \vec{v} \) будет иметь компоненты \( v_x = 1-2t \) и \( v_y = 1+4t \).

Теперь перейдем к нахождению ускорения точки. Ускорение представляет собой вторую производную вектора положения по времени. Продифференцируем компоненты вектора скорости \( \vec{v} \).

Производная \( v_x = 1-2t \) по времени дает нам \( \frac{dv_x}{dt} = -2 \), а производная \( v_y = 1+4t \) равна \( \frac{dv_y}{dt} = 4 \). Таким образом, вектор ускорения \( \vec{a} \) будет иметь компоненты \( a_x = -2 \) и \( a_y = 4 \).

Теперь нам нужно найти угол между векторами скорости и ускорения в момент времени \( t = 1 \) c. Для этого мы можем использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{a}|} \]

где \( \vec{v} \cdot \vec{a} \) - скалярное произведение векторов скорости и ускорения, а \( |\vec{v}| \) и \( |\vec{a}| \) - модули этих векторов.

Подставляя значения компонент векторов скорости и ускорения, получим:

\[ \cos\theta = \frac{(1-2t)(-2) + (1+4t)(4)}{\sqrt{(1-2t)^2 + (1+4t)^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + (4)^2}} \]

Подставляя \( t = 1 \) c, получим:

\[ \cos\theta = \frac{-3 \cdot (-2) + 5 \cdot 4}{\sqrt{(-3)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 4^2}} \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ \cos\theta = \frac{6 + 20}{\sqrt{9 + 25} \cdot \sqrt{4 + 16}} = \frac{26}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{20}} \]

\[ \cos\theta = \frac{26}{\sqrt{34} \cdot 2 \sqrt{5}} = \frac{13}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{5}} \]

Итак, ускорение точки в момент времени \( t = 1 \) c будет иметь компоненты \( a_x = -2 \) м/c\(^2\) и \( a_y = 4 \) м/c\(^2\), а угол \( \theta \) между векторами скорости и ускорения будет определяться как \( \theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{5}}\right) \).