Какова была начальная скорость камня, который был выпущен из (древнего метательного оружия) и достиг высоты h=35м

Поющий_Хомяк

61

Хорошо, чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулы движения в вертикальном направлении.

Когда камень поднимается или опускается в вертикальном направлении, его движение может быть описано уравнением:

\[h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\]

где:
\(h\) - высота над точкой запуска,
\(v_0\) - начальная скорость камня,
\(t\) - время полета,
\(g\) - ускорение свободного падения (приближенное значение 9.8 м/с^2).

Дано, что второй раз камень достигает высоты \(h=35\) метров и между этими двумя моментами проходит 6 секунд.

Чтобы найти начальную скорость \(v_0\), мы можем использовать систему уравнений.

Уравнение для момента, когда камень находится на высоте \(h=0\):

\[0 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2\]

Уравнение для момента, когда камень находится на высоте \(h=35\) метров:

\[35 = v_0t_2 + \frac{1}{2}gt_2^2\]

Мы знаем, что \(t_2 = t_1 + 6\) секунд.

Подставим \(t_2 = t_1 + 6\) во второе уравнение:

\[35 = v_0(t_1 + 6) + \frac{1}{2}g(t_1 + 6)^2\]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными (\(v_0\) и \(t_1\)). Решим ее.

Распишем первое уравнение:

\[0 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2\]

Подставим в него \(t_1 + 6\) вместо \(t_2\):

\[0 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2\]

\[0 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1(t_1+6)\]

\[0 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 + 3gt_1\]

\[0 = t_1(v_0 + \frac{1}{2}gt_1 + 3g)\]

Итак, у нас есть две возможности: либо \(t_1 = 0\) (что не имеет смысла, т.к. камень уже был выпущен), либо:

\[v_0 + \frac{1}{2}gt_1 + 3g = 0 \quad \text{(1)}\]

Теперь распишем второе уравнение:

\[35 = v_0(t_1 + 6) + \frac{1}{2}g(t_1 + 6)^2\]

Раскроем скобки:

\[35 = v_0t_1 + 6v_0 + \frac{1}{2}gt_1^2 + 6gt_1 + \frac{1}{2}g \cdot 6^2\]

\[35 = v_0t_1 + 6v_0 + \frac{1}{2}gt_1^2 + 6gt_1 + 3g\]

Сгруппируем по \(t_1\):

\[35 = v_0t_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 + 6v_0 + 6gt_1 + 3g\]

\[35 = t_1(v_0 + \frac{1}{2}gt_1 + 6v_0 + 6g) + 3g\]

\[35 = t_1(v_0 + \frac{13}{2}gt_1 + 6v_0) + 3g \quad \text{(2)}\]

Используем формулу \(\text{(1)}\), чтобы выразить \(v_0\) через \(t_1\):

\[\text{(1)} \Rightarrow v_0 = -\frac{1}{2}gt_1 - 3g\]

Подставим это значение \(v_0\) в \(\text{(2)}\):

\[35 = t_1(-\frac{1}{2}gt_1 - 3g + \frac{13}{2}gt_1 + 6(-\frac{1}{2}gt_1 - 3g) + 3g)\]

Упростим:

\[35 = t_1(-\frac{1}{2}gt_1 - 3g + \frac{13}{2}gt_1 - 3gt_1 - 18g)\]

\[35 = t_1(-\frac{1}{2}gt_1 - 3g + \frac{13}{2}gt_1 - 3gt_1 - 18g)\]

\[35 = t_1(-4gt_1 - 24g)\]

Выразим \(t_1\):

\[-4gt_1^2 -24gt_1 -35=0\]

Найдем \(t_1\) с помощью квадратного уравнения:

\[t_1 = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-35)}}{2 \cdot (-4) }\]

Упростим:

\[t_1 = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 560}}{-8}\]

\[t_1 = \frac{24 \pm \sqrt{16}}{-8}\]

\[t_1 = \frac{24 \pm 4}{-8}\]

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. \(t_1 = \frac{24 + 4}{-8} = -\frac{28}{-8} = \frac{7}{2}\) секунды
2. \(t_1 = \frac{24 - 4}{-8} = -\frac{20}{-8} = \frac{5}{2}\) секунды

Мы получили два значения для \(t_1\), но по условию задачи, между двумя моментами проходит 6 секунд. Поэтому мы можем выбрать только положительное значение \(t_1\), равное \(\frac{5}{2}\) секунд.

Теперь, зная \(t_1\), мы можем вычислить \(v_0\) с помощью уравнения \(\text{(1)}\):

\[v_0 = -\frac{1}{2}gt_1 - 3g = -\frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot \frac{5}{2} - 3 \cdot 9.8 = -\frac{49}{4} - 29.4 = -\frac{49 + 4 \cdot 29.4}{4} = -\frac{49 + 117.6}{4} = -\frac{166.6}{4} = -41.65 \, \text{м/с}\]

Таким образом, начальная скорость камня была примерно равна -41.65 м/с. Отрицательное значение указывает на то, что начальное движение камня было направлено вниз.