Каково время полураспада радиоактивного изотопа, если ежедневно в среднем распадается 1750 из 2000 атомов?

Sarancha

8

Для решения этой задачи нам нужно использовать понятие времени полураспада. Время полураспада радиоактивного изотопа - это время, в течение которого количество атомов этого изотопа уменьшается вдвое.

По условию задачи, ежедневно распадается 1750 из 2000 атомов. Это означает, что за один день остается 2000 - 1750 = 250 атомов радиоактивного изотопа.

Теперь мы можем воспользоваться формулой для расчета времени полураспада:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

где:
- \(N\) - количество атомов после времени \(t\)
- \(N_0\) - начальное количество атомов
- \(T\) - время полураспада

У нас есть начальное количество атомов (\(N_0 = 2000\)) и количество атомов после одного дня (\(N = 250\)). Мы ищем время полураспада (\(T\)).

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно \(T\):

\[250 = 2000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Для решения этого уравнения нам нужно избавиться от показателя степени. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

\[\log_2 250 = \log_2 2000 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Теперь мы можем использовать свойство логарифма, согласно которому \(\log_a b^c = c \cdot \log_a b\):

\[\log_2 250 = \frac{t}{T} \cdot \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)\]

Значение логарифма \(\log_2 \left(\frac{1}{2}\right)\) равно -1, так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2\).

Подставляем известные значения:

\[\log_2 250 = \frac{t}{T} \cdot (-1)\]

Домножаем обе части уравнения на \(-T\):

\[-T \cdot \log_2 250 = t\]

После замены значений получаем:

\[-T \cdot \log_2 250 = 1\]

Делим обе части уравнения на \(-\log_2 250\):

\[T = \frac{1}{\log_2 250}\]

Теперь мы можем вычислить значение времени полураспада радиоактивного изотопа, подставив значение \(\log_2 250\):

\[T = \frac{1}{\log_2 250} \approx 3.96 \text{ дней}\]

Итак, время полураспада радиоактивного изотопа равно примерно 3.96 дней.