Каково выражение для потенциальной энергии материальной точки массой m в поле земного тяготения в зависимости от высоты
Каково выражение для потенциальной энергии материальной точки массой m в поле земного тяготения в зависимости от высоты точки над поверхностью Земли h? Известно, что радиус Земли R и ускорение свободного падения на ее поверхности g. При этом предполагается, что потенциальная энергия равна нулю на поверхности Земли. Как выглядит примерный график этой зависимости?
Ledyanoy_Vzryv 30
Выражение для потенциальной энергии материальной точки массой m в поле земного тяготения в зависимости от высоты точки над поверхностью Земли h может быть выведено с использованием закона всемирного тяготения.Закон всемирного тяготения утверждает, что сила притяжения между двумя точками пропорциональна произведению масс этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Используя этот закон, мы можем выразить силу притяжения между Землей и материальной точкой на высоте h над ее поверхностью:
\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{(R + h)^2}} \]
где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса материальной точки, R - радиус Земли и h - высота точки над поверхностью Земли.
Теперь мы можем выразить потенциальную энергию как работу, выполненную для перемещения материальной точки от бесконечности до ее текущей высоты h:
\[ U = \int_{\infty}^{h} F \cdot dh \]
Мы можем проинтегрировать это выражение, чтобы получить выражение для потенциальной энергии материальной точки в поле земного тяготения:
\[ U = -\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R + h}} + C \]
где C - постоянная интегрирования. Учитывая, что потенциальная энергия равна нулю на поверхности Земли (при h = 0), мы можем определить C следующим образом:
\[ C = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R}} \]
Тогда итоговое выражение для потенциальной энергии материальной точки в поле земного тяготения будет:
\[ U = -\frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R + h}} + \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R}} \]
Итак, выражение для потенциальной энергии материальной точки массой m в поле земного тяготения в зависимости от высоты точки над поверхностью Земли h равно:
\[ U = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{R}} \left(1 - \frac{{1}}{{1 + \frac{{h}}{{R}}}}\right) \]
Отношение \( \frac{{h}}{{R}} \) выражает высоту точки над поверхностью Земли в единицах радиуса Земли.
Примерный график этой зависимости будет убывающей функцией, начинающейся с ненулевого значения на высоте h = 0 и стремящейся к нулю по мере увеличения высоты.