Каково выражение вектора DP через векторы SA = A SM = B SD в случае, если треугольник ABC имеет свои медианы

Якорица

63

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством медиан треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

По условию задачи, точка P является серединой отрезка SO. Соответственно, мы можем выразить вектор SP как половину вектора SO:

\[\overrightarrow{SP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SO} \]

Теперь нам нужно выразить вектор SO через векторы SA, SM и SD. Обратимся к свойству медиан треугольника.

Мы знаем, что вектор медианы делит вектор, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, на две равные части. То есть:

\[\overrightarrow{SO} = \overrightarrow{SM} + \overrightarrow{MO} \]

Заметим, что вектор MO - это также медиана треугольника, проходящая через точку O. Мы можем выразить его через векторы SA и SD:

\[\overrightarrow{MO} = \frac{2}{3} \overrightarrow{SA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{SD} \]

Теперь мы можем объединить все полученные равенства и выразить вектор SP через векторы SA, SM и SD:

\[\overrightarrow{SP} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{SM} + \frac{2}{3} \overrightarrow{SA} + \frac{1}{3} \overrightarrow{SD}) \]

Упростив это выражение, получим:

\[\overrightarrow{SP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SM} + \frac{1}{3} \overrightarrow{SA} + \frac{1}{6} \overrightarrow{SD} \]

Таким образом, мы получили выражение вектора DP через векторы SA, SM и SD:

\[\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{SM} + \frac{1}{3} \overrightarrow{SA} + \frac{1}{6} \overrightarrow{SD} \]

Надеюсь, это решение понятно и полезно для вас!