Каково выражение вектора OD−→− через векторы OA−→−, OB−→− и OC−→− в треугольнике ABCD, где AD = 4BC?

Рысь

35

Чтобы найти выражение вектора \(\overrightarrow{OD}\), сначала давайте рассмотрим отношение длин сторон треугольника ABCD - AD и BC. По условию задачи, AD = 4BC.

In Russian:

Для начала обозначим векторы так:
\(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\)
\(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\)
\(\overrightarrow{OC} = \vec{c}\)

Затем найдем вектор \(\overrightarrow{OD}\) с помощью выражений относительно данных векторов.

Вектор \(\overrightarrow{OD}\) можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\):

\(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}\)

Теперь заменим векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) на их выражения через \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

\(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB} = \vec{b} + \vec{a}\)
\(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC} = \vec{b} + \vec{c}\)

Подставим значения \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OC}\) в выражение для \(\overrightarrow{OD}\):

\(\overrightarrow{OD} = (\vec{b} + \vec{a}) - (\vec{b} + \vec{c})\)

Теперь упростим это выражение, сокращая схожие слагаемые:

\(\overrightarrow{OD} = \vec{b} + \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\)

Затем сгруппируем векторы:

\(\overrightarrow{OD} = (\vec{b} - \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{c})\)

\(\overrightarrow{OD} = \vec{a} - \vec{c}\)

Итак, выражение вектора \(\overrightarrow{OD}\) через векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) в треугольнике ABCD равно \(\vec{a} - \vec{c}\).